¿Por qué es $\frac{10}{8.1}$ tan raro?

Question

Aquí hay algo que me llegó a través de anoche:

$$\frac{10}{8.1} = 1.23456790123456790123456790123456...$$

Aviso no hay ningún "8" para repetir en el decimal. Pero todos los otros dígitos están ahí, en orden: $012345679...$

¿Por qué es esto?

También me di cuenta de que si me tomó de la raíz cuadrada de la misma, más barbaridades apareció:

$$\sqrt{\frac{10}{8.1}} = 1.111111111... = \frac{10}{9}$$

Lo que en el mundo está pasando aquí?

Answer 1

Creo que responde a tu pregunta ya:

$$\frac{10}{8.1} = \frac{100}{81} = (1.11111\cdots)^2 = (1.11111\cdots) (1+ 0.1 + 0.01 + 0.001 + \cdots)$$

es realmente

$$\begin{array}{cr}& 1.1111111111111111 \cdots \\ + &.1111111111111111\cdots \\ + &.0111111111111111\cdots \\ + &.0011111111111111 \cdots \\ \vdots& \vdots \end{array} $$

Si usted echa un vistazo a las $9$-ésimo lugar decimal, dispone de nueve $1$'s en la parte superior, pero un $1$ proveniente de la $10$-ésimo lugar decimal. A continuación, el $9$-th decimal dar realmente una $1$ $8$- th, por lo tanto, de los asesinatos que se $8$ que debe ser en el $8$-ésimo lugar.

Answer 2

en realidad no es extraño en absoluto.. y en parte resuelto $$\frac{10}{8.1} = \frac{100}{81} = \frac{10 \times 10}{9 \times 9}$$ now if you take $999.999.999$ and divide it by $81$ you get $12.345.679$ that's how you can get the period... because now we get $$\frac{100}{81} = 100\frac{12.345.679}{999.999.999}$$ por lo tanto, sus construido para ser como este....

Answer 3

En realidad, puede pensar en esto como tener todos los números de 1 a 10, en su época, pero desde el 10 tiene dos dígitos, se obtiene un llevar:

  1.000000000
+ 0.200000000
+ 0.030000000
+ 0.004000000
+ 0.000500000
+ 0.000060000
+ 0.000007000
+ 0.000000800
+ 0.000000090
+ 0.000000010
-------------
carry:    1
-------------
  1.234567900

Que esta suma es lo que realmente sucede es explicado en Cristiano Blatters respuesta, aquí usted puede ver por qué el 8 "falta": es un acarreo de 1 por lo que se convierte en un 9 en su lugar.

Answer 4

Una aclaración más sobre este problema: para calcular cuántos repetición de decimales a fracción $\frac{p}{q}$ tiene, uno tiene que calcular el orden de $10$ modulo $q$ (debido a que, a continuación, $\left(10^n-1\right)\frac{p}{q} \in \mathbb{Z}$ por primera vez).

Si usamos el "Levantamiento del exponente lema", se obtiene que: $$v_3(10^n-1) = v_3(10-1)+v_3(n) = 2+v_3(n) $$ Y esto debe ser igual a $4$ porque $81 = 3^4$. Por lo $n = 9$.

Answer 5

Tomando la derivada de la ${1\over 1-z}=\sum_{k=0}^\infty z^k$ da $${1\over(1-z)^2}=\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^k\ .$$ Si ponemos $z:={1\over10}$ aquí obtenemos $${10\over 8.1}={1\over\left(1-{1\over10}\right)^2}=\sum_{k=0}^\infty(k+1)\>10^{-k}=1.234567\ldots\quad.$$ (Por supuesto, esto no explica suficientemente la tarde dígitos).