Encontrar $J: S^2\rightarrow \mathbb{R}$, si $I:S^2\rightarrow \mathbb{R}$, s.t. $I(\vec{a})=\int_{S^2}\vec{n}\cdot\vec{a} J(\vec{n}) ds$.

Question

Pensé en el siguiente problema, cuando estábamos discutiendo la intensidad de la radiación en un astrofísica de conferencias. Supongamos $\mathbb{R}^3$ se llena con el uniforme de la radiación, es decir, hay una función de $J:S^2\rightarrow \mathbb{R}$, de manera que en cualquier punto en $\mathbb{R}$ la cantidad de radiación en la dirección $\vec{n}$$J(\vec{n})$.
Si ponemos una unidad de área con vector normal $\vec{a}$ en el espacio, se puede calcular el flujo de $I$ a través de ella $I(\vec{a})=\int_{S^2}\vec{n}\cdot\vec{a} J(\vec{n}) ds = \int_{S^2}\cos(\sphericalangle(\vec{n},\vec{a})) J(\vec{n}) ds $.

Bajo qué condiciones y cómo es posible hacer a la inversa, es decir, calcular el $J$$I$?

Por supuesto que habrá varios $J$'s de una $I$, ya que muchos de $J$'s llevan a la misma $I$. Esto nos lleva a la siguiente pregunta: "¿Cuán grandes son las clases de $J$'s que corresponden a un $I$?

Por ejemplo, a la hora de calcular el flujo, la parte simétrica de $J$ no contribuye a nada. Creo que este problema es análogo al cálculo de la deconvolución de una función complicada de todo el coseno, sólo en una esfera en lugar de la línea real, y la distancia entre dos puntos sobre la esfera es el ángulo de su vector de posición.

Answer 1

Mi texto es demasiado largo para un comentario así que lo pongo aquí: No estoy seguro si entiendo perfectamente tus anotaciones. Lo que yo entiendo es que si yo conozco a una cierta función del $J:S^2\rightarrow \Bbb{R}$ como $(\phi,\theta)\mapsto \theta^2$, en coordenadas esféricas (con $r=1$), y una "unidad de área" (creo que te refieres a algo así como un cuadrado o un disco tiene superficie $=1$ y perpendicular a un vector de longitud $1$ nombre $\vec{a}$), a continuación, puedo calcular $I(\vec{a})$. La ubicación del centro de la superficie de este objeto no es importante (creo que esta es la razón por la que la radiación se denomina uniforme), vamos a echar un cuadrado que es perpendicular a la $y$-eje, a continuación, ¿cuál sería el valor de $I(\vec{a})$?

Answer 2

Siguiente Nimda la sugerencia, $J$ puede ser descompuesto en armónicos esféricos $Y_l^m$. Por lo tanto, es útil observar el flujo de la función $I_{Y_l^m}$ correspondiente a la $J=Y_l^m$ para todos los posibles $l$,$m$. Es útil utilizar el teorema de adición de armónicos esféricos: $P_l(cos(\gamma)=\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^{l}Y_l^m(\theta,\phi)Y_l^{m*}(\theta',\phi')$ donde $\gamma$ es el ángulo entre los puntos de $(\theta,\phi)$$(\theta',\phi')$. Porque, $P_1(x)=x$, esto significa $\vec{n}\cdot\vec{a}=\frac{4\pi}{3}\sum_{m=-1}^{1}Y_1^m(\theta,\phi)Y_1^{m}(\theta',\phi')^*$. Por lo tanto, obtenemos $$ I_{Y_l^m} = \int_{S^2} \frac{4\pi}{3}\sum_{m'=-1}^{1}Y_1^{m}(\theta,\phi)Y_1^{m}(\theta',\phi')^*Y_l^{m}(\theta',\phi") $$ Esto es igual a $\frac{4\pi}{3} Y_l^m(\theta,\phi)$ si $l=1$ $0$ otros $l$.\ Esta muestra, que sólo las combinaciones lineales de $Y_1^{-1}$, $Y_1^0$ y $Y_1^1$ son posibles funciones para $I$'s, que tienen un correspondiente $J$. Además, si se nos da $I$ como una descomposición en armónicos esféricos, $I(\theta,\phi)=\sum_{m=-1}^1 b_m Y_1^m(\theta,\phi)$, luego $$J(\theta,\phi)=\sum_{m=-1}^1 b_m\frac{3}{4\pi} Y_1^m(\theta,\phi) + \sum_{1\neq l=0}^{\infty}\sum_{m=-1}^1 c_{l,m}Y_l^m(\theta,\phi)$$ donde $c_{l,m}$ son arbitrarias de los coeficientes.