Tengo la fórmula para la suma de una serie geométrica finita como $$1+z+z^2\cdots +z^n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z},$$ where $z\in\mathbb{C}$ and $n=0,1,...$. I am asked to infer the identity $$1+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos n\theta = \frac{1}{2}+\frac{\sin(n+1/2)\theta}{2\sin\theta /2}.$$ Now, I understand that on the left hand side I'm going to get $$1+\cos\theta +\cdots + \cos n\theta + i[\sin\theta + \sin 2\theta +\cdots + \sin n\theta]$$ el uso de $z=e^{i\theta}$ para cualquier compleja $z$. Sin embargo, cuando hago que la sustitución en el lado derecho, una monstruosa expresión se produce y no se puede simplificar hasta el resultado deseado. Por ejemplo, puedo conseguir $$\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}$$ and using identities I get $$\frac{1-\cos [(n+1)\theta]+i(\sin[(n+1)\theta])}{1-\cos n\theta -i\sin n\theta}.$$ a partir De aquí hice un montón de manipular, pero nunca llegar más cerca de la identidad preguntó.
Si alguien pudiera arrojar algo de luz sería muy apreciada! ~Dom
