Quiero demostrar que $m,n\in \mathbb{N}$ $m\neq n$ siguiente tiene $(\cos (nx),\cos (mx))=0$ $L_2(-\pi,\pi)$. ¿Que significa $$\int_{-\pi}^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=0.$ $ que es una forma inteligente de hacer esto?
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clark
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Alex M.
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Si estás en un examen y usted simplemente no puede recordar la fórmula trigonométrica utilizado por @MichaelBiro, y también tienen miedo de @clark exponenciales complejas, entonces integrando por partes dos veces va a guardar (asumiendo $n \ne 0$):
$$\int \límites de _{-\pi} ^\pi \underbrace {\cos mx} _u \underbrace {\cos nx} _{v} \ \Bbb d x = \cos mx \frac {\sen nx} n \Bigg| _{-\pi} ^\pi \int \límites de _{-\pi} ^\pi (-m \pecado mx) \frac {\sen nx} n \Bbb d x =\\ \frac m n \int \límites de _{-\pi} ^\pi \underbrace{\pecado mx} _u \underbrace{\sen nx} _{v} \Bbb d x = \frac m n \left( \pecado mx \frac {-\cos nx} n \Bigg| _{-\pi} ^\pi \int \límites de _{-\pi} ^\pi m \cos mx \frac {-\cos nx} n \ \Bbb d x \right) =\\ \frac {m^2} {n^2} \int \límites de _{-\pi} ^\pi \cos mx \cos nx \ \Bbb d x$$
de donde se sigue que
$$\left( \frac {m^2} {n^2} - 1 \right) \int \limits _{-\pi} ^\pi \cos mx \cos nx \ \Bbb d x = 0$$
de dónde (recordar que $m \ne n$)
$$\int \limits _{-\pi} ^\pi \cos mx \cos nx \ \Bbb d x = 0 .$$
Si $n = 0$$m \ne 0$, tan sólo el intercambio de $u$$v$.
MPW
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Sólo observar que $\cos nx \cos mx = \frac12(\cos(n+m)x + \cos(n-m)x)$.
Esto suponiendo que $n\neq \pm m$, tiene una primitiva que es un múltiplo constante de $\sin (n+m)x + \sin(n-m)x$, que se desvanece cuando se evaluó en cada uno de los límites de integración.
No sé esta fórmula automáticamente, por cierto. Acabo de escribir $$\cos nx \cos mx = \left(\frac{e^{inx}+e^{-inx}}2\right)\left(\frac{e^{imx}+e^{-imx}}2\right)$ $ $$= \frac12\left(\frac{e^{i(n+m)x}+ e^{i(n-m)x}+ e^{-i(n-m)x}+e^{-i(n+m)x}}2\right)$ $ $$= \frac12{}\left(\frac{e^{i(n+m)x}+e^{-i(n+m)x}}2 + \frac{e^{i(n-m)x}+e^{-i(n-m)x}}2\right)$ $ $$=\frac12 (\cos (n+m)x + \cos (n-m)x)$ $
