Un ejercicio interesante en los enteros de gauss es demostrar que los de la forma$n-i$, $n$ un entero positivo, se multiplicatively independiente. Para solucionar esto, uno tiene que considerar la ecuación con las normas de elementos, esto es, $n^2+1=(m^2+1)^k$, la cual puede ser escrito como $n^2 = (m^2+1)^k-1$, y es bien sabido que esta ecuación no tiene soluciones (este es un caso particular de la lengua catalana-Mihailescu teorema, pero ni siquiera necesitamos un buen resultado, ya que esta forma específica ya fue resuelto por Lebesgue).
Me preguntaba si se puede conseguir el mismo resultado teniendo en cuenta Eisenstein enteros (números de la forma$a+bj$$j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$. La determinación de si $n-j$ $m-j$ son multiplicatively independiente conduce a la ecuación de $$n^2+n+1=(m^2+m+1)^k, \qquad(*)$$ y, a continuación, se realiza con el método anterior de resolver como parece que no hay ninguna manera fácil para reescribir esta ecuación.
Habría sido agradable para demostrar que esta ecuación no tiene solución; por desgracia, este no es el caso ya que las $(18^2+18+1)=(2^2+2+1)^3$, y se verifica que $(2-j)^18 = (18-j^2)^6$ desde $(2-j)^3$ $18-j^2$ son conjugados.
Hasta ahora, no sé si hay otras soluciones (pero scilab parece que me responde que este es el único) y yo no se puede obtener nada más que trivial resultados ($k$ es impar, $n$ está delimitado por $m^k$$(m+1)^k$). Así que, me gustaría saber si esta ecuación $(*)$ ya ha sido estudiado en algún lugar, y/o si tienes alguna idea para encontrar todas las soluciones; siéntase libre de agregar cualquier comentario!
