En un intento de responder a una de la recompensa de las preguntas, he empezado a imaginarse Euclidiana división en cuadrática campos. En teoría nos gustaría que la ecuación:
$$ a = b\,q + r \hspace{0.25in}\text{with}\hspace{0.25in} N(r) < \tfrac{1}{2}N(b)$$
El anillo de enteros de $\mathbb{Q}(i)$ $\mathbb{Z}[i]$ y la norma es $||a + bi|| = \sqrt{a^2 + b^2} $, por lo que parece que debería ser suficiente para mostrar la sumset ( o suma de Minkowski)
$$ \mathbb{Z}[i] + \left\{ x^2 + y^2 < \tfrac{1}{2} \right\} = \mathbb{C}$$
y la imagen confirma que Euclidiana división debe mantener ordenadamente en $\mathbb{Z}[i]$ con espacio de sobra.
Para $\mathbb{Q}(i \sqrt{3})$ podemos encontrar el anillo de $\mathbb{Z}\left[\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right]$ norma $ ||a + \omega b|| = \sqrt{ a^2 + ab + b^2 }$. La geometría euclidiana es ayudar, es hasta la fecha.
El resultado correspondiente para $\mathbb{Q}(i \sqrt{7})$ casi parece derecho, pero veo pequeños parches que faltan y por $\mathbb{Q}(i \sqrt{11})$ a olvidar. La Wikipedia dice que la norma Euclidiana cuadrática campos se $d = -1,-3,-7,-11$ y no más.
¿Por qué es mi imagen de el algoritmo de Euclides inexacta? Y cómo conseguimos los puntos que faltan?
