Cómo demostrar a $b=c$ si $ab=ac$ (anulación de la ley en grupos)?

Question

Quiero demostrar que para un grupo de $G$, que si $$a\circ b =a\circ c$$ then this is true $$b=c$$ Empecé con $b=b\circ e$, pero esto no me ayuda en absoluto.

A continuación, he probado con esto: $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$ pero yo no saber/entender cómo ir más allá. Cómo puedo probar esta ecuación?

Answer 1

Supongamos que $$a\cdot b = a\cdot c$$ Let $a^{-1}$ be the inverse element of $$ in $G$ (s.t. $^{-1}\cdot a = a\cdot a^{-1} = e$ where $e$ es el elemento de identidad), que debe existir por parte de los axiomas de los grupos. Ahora considere la posibilidad de

$$a^{-1}\cdot(a \cdot b) =a^{-1}\cdot(a\cdot c)$$

Por la asociatividad, tenemos

$$(a^{-1}\cdot a)\cdot b = (a^{-1}\cdot a)\cdot c$$

Por la definición de inversa, tenemos

$$e\cdot b = e\cdot c$$

donde $e$ es el elemento de identidad de la (s.t. $e\cdot x = x\cdot e = x$ todos los $x \in G$). Por la definición de la identidad del elemento,

$$b = c$$

Answer 2

Sugerencia:

Si usted sabe que $4\cdot x = 4\cdot y$, ¿cómo se puede demostrar que $x=y$?

Sugerencia 2:

Pensar acerca de la recíproca

Answer 3

$G$ es un grupo. Uno de los axiomas de un grupo es que cada elemento tiene una inversa. Esto significa que $a\in G$ tiene una inversa $a^{-1} \in G$. Esto le ayudará mucho.

Answer 4

Ok, sabemos $a,b,c \in G$ $$b = e∘b = (a^{-1}∘a)∘b = a^{-1}∘(a∘b)=a^{-1}∘(a∘c) = (a^{-1}∘a)∘c = c$$

Answer 5

Por el grupo de propiedades de cada elemento tiene una inversa. Por lo que sólo puede multiplicar la ecuación a la izquierda por $a^{-1}$.