Si $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f$ es monótona, entonces prueba $f(x)=ax$

Question

Supongo que $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ es una función monótona de la función satisfactoria $$f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \forall x,y\in\Bbb{R}$$ then prove $f (x) = ax \quad \forall x\in\Bbb {R} $

Probé que $f(x)=ax \quad \forall x\in \Bbb{Q}$. Asumir que es Monótonamente creciente ahora cualquier número irracional entonces elegir secuencias % aumento de $\alpha$y $\{x_n\}$ $\alpha$ disminuyendo a $\{y_n\}$ % que $\alpha$. Entonces $$f(x_n)\le f(\alpha)\le f(y_n)$$ i.e. $$ax_n\le f(\alpha)\le ay_n$$ now letting $n\to \infty$ we get $f (\alpha) = \alpha$ a\cdot

¿Es correcta para irrationals mi prueba?

Answer 1

Sí, puede añadir que $\{x_n\},\{y_n\}$ son secuencias racionales. Y dejar que $n\to\infty$ obtenemos $a\cdot\alpha\leq f(\alpha)\leq a\cdot\alpha$ esto implica $f(\alpha)=a\cdot\alpha$ pero esas son solo pequeñas cosas (para la claridad de la prueba)