Morfismo de esquemas $f\colon X\to Y$ asociado a un mapa continuo de los espacios subyacentes $|X|\to |Y|$

Question

Siento hacer dos preguntas en una, pero están muy relacionadas.

• ¿Cuál es un ejemplo de esquemas (afines?) $X=(|X|,\mathcal{O}_X)$ y $Y=(|Y|,\mathcal{O}_Y)$ y un mapa de espacios topológicos $|f|\colon|X|\to |Y|$ que no puede ser promovido a un mapa $f\colon X\to Y$ de esquemas?

Supongo que algo como $exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es un ejemplo, pero no puedo demostrar que sea un ejemplo.

• ¿Cuál es un ejemplo de esquemas (afines?) $X=(|X|,\mathcal{O}_X)$ y $Y=(|Y|,\mathcal{O}_Y)$ y un mapa de espacios topológicos $|f|\colon|X|\to |Y|$ que puede ser promovido en un mapa $f_1\colon X\to Y$ de esquemas y en un mapa $f_2\colon X\to Y$ un mapa de esquemas con $f_1\neq f_2$ ?

Answer 1

Sólo toma $X=\mathrm{Spec}(K)$ y $Y=\mathrm{Spec}(L)$ para dos campos $K,L$ .

Hay un mapa único $|X| \to |Y|$ . Los morfismos $X \to Y$ corresponden a homomorfismos de campo $L \to K$ . Puede que no haya ningún homomorfismo de este tipo, pero también puede haber muchos. (Por ejemplo, consideremos $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}$ o $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ).

Answer 2

1) Toma $X=Y=\mathbb A^1_\mathbb C$ para que $|X|=\mathbb C\sqcup \{\eta\}$ .
Cualquier permutación de $|X|$ fijación del punto genérico $\eta$ induce un homeomorfismo $f:|X|\to |X|$ .
Si la permutación inducida en el subconjunto de puntos cerrados $\mathbb C\subset |X|$ no es continua en la topología clásica, entonces el mapa $f$ no puede provenir de un morfismo de esquema $X\to X$ .
Como ejemplo se puede tomar la permutación que intercambia $0$ y $1$ y arreglar todo lo demás.

2) Dado un campo $k$ y un automorfismo no trivial $\phi:k\to k$ los morfismos de esquema inducidos $\phi^*, Id^*:\text {Spec}(k)\to \text {Spec}(k)$ son diferentes pero inducen el mismo homeomorfismo (¡de espacios de un punto!) $|\text {Spec}(k)|\to |\text {Spec}(k)|$

Answer 3

Un ejemplo interesante es el que ofrece un anillo de valoración discreta $R$ y su campo cociente $k$ . $spec \ R=\{(0), \mathfrak{p}\}$ con $\mathfrak{p}$ cerrado y $(0)$ abierto. Y $spec \ k=\{(0)\}$ . Ahora el mapa de inclusión $R\rightarrow k$ induce $spec \ k\rightarrow spec \ R$ donde $(0)\mapsto (0)$ el mapa sobre gavillas es $k\rightarrow k$ que es local. Sin embargo, $(0) \mapsto \mathfrak{p}$ también es un mapa continuo. Sin embargo, el mapa inducido en las láminas es $R\rightarrow k$ el mapa de inclusión y éste no es un mapa local ya que la imagen inversa de $(0)$ no es el ideal máximo de $R$ .