Raíces complejas de un polinomio irreducible

Question

Esta es una parte de una pregunta de un examen de prelim de Berkeley y le agradeceria un Consejo, ya que no puedo ver un enfoque prometedor para esto.

Que $p$ sea un polinomio irreducible sobre los racionales con un % distinto de cero raíz compleja $a$. Supongamos que $a^2$ también es una raíz de $p$. ¿Cómo uno concluir de esto que cualquier raíz $b$ $p$ $b^2$ también es una raíz de $p$?

Answer 1

Sugerencia: El número $a$ es un cero de la % de polinomios $p(x)$y $q(x)=p(x^2)$. Mostrar que esto significa que el $a$ también es una raíz del máximo común divisor $h(x)=gcd(p(x),q(x))\in\mathbf{Q}[x]$. ¿Qué puede decir sobre el polinomio $h(x)$ con el hecho de que $p(x)$ era conocido por ser irreducible?