62 votos

¿Por qué no Diagonal de Cantor Argumento También se Aplica a los Números Naturales?

En mi comprensión de la diagonal de Cantor argumento, hemos de empezar por representantes de cada uno de un conjunto de números reales, como una infinita cadena de bits.

Mi pregunta es, ¿por qué no podemos empezar por representando cada número natural como una infinita cadena de bits? Así que 0 = 00000000000..., 9 = 1001000000..., 255 = 111111110000000...., y así sucesivamente.

Si pudiéramos, entonces la diagonal argumento implicaría que existe un número natural no en los números naturales, que parece ser un poco de la contradicción....

Gracias!

44voto

YequalsX Puntos 320

Si usted representa a un número natural como una infinita cadena, la cadena se convertirá de forma idéntica $0$ después de un cierto punto. Si crees que a través de la "diagonal argumento" en este caso no se produce un número natural; se va a producir una cadena con una infinidad de $1$s.

Por otro lado, se puede considerar la posibilidad de infinitas cadenas binarias --- es decir, cadenas en las que puede haber una infinidad de $1$; esta es una manera de pensar de el conjunto de $2$-ádico números, que es, de hecho, un incontable de extensión del conjunto de los números naturales (como uno se ve a través de la precisa diagonal argumento de que se sugieren).

26voto

RobW Puntos 1798

La razón es simplemente que los números naturales tienen un número finito de representación. (En la teoría de conjuntos, Cada uno es un número finito de una sucesión a partir de 1, donde el sucesor de n es n+1.) Su esquema de representación esencialmente respeta esto, ya que para cualquier número natural (que estará en la lista), después de cierto número finito de dígitos que se convierte en ceros. Su diagonal elemento va a ser uno de estos, y así en la lista, o una secuencia de unos y ceros que nunca 'ceros'. Esta cadena NO es un número natural; corresponde a nada en su esquema de representación. La razón de la diagonal argumento funciona para números reales es que no tienen un número finito de representación. En la teoría de conjuntos se representan como el límite de una serie infinita.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X