¿Por qué no Diagonal de Cantor Argumento También se Aplica a los Números Naturales?

Question

En mi comprensión de la diagonal de Cantor argumento, hemos de empezar por representantes de cada uno de un conjunto de números reales, como una infinita cadena de bits.

Mi pregunta es, ¿por qué no podemos empezar por representando cada número natural como una infinita cadena de bits? Así que 0 = 00000000000..., 9 = 1001000000..., 255 = 111111110000000...., y así sucesivamente.

Si pudiéramos, entonces la diagonal argumento implicaría que existe un número natural no en los números naturales, que parece ser un poco de la contradicción....

Gracias!

Answer 1

Si usted representa a un número natural como una infinita cadena, la cadena se convertirá de forma idéntica $0$ después de un cierto punto. Si crees que a través de la "diagonal argumento" en este caso no se produce un número natural; se va a producir una cadena con una infinidad de $1$s.

Por otro lado, se puede considerar la posibilidad de infinitas cadenas binarias --- es decir, cadenas en las que puede haber una infinidad de $1$; esta es una manera de pensar de el conjunto de $2$-ádico números, que es, de hecho, un incontable de extensión del conjunto de los números naturales (como uno se ve a través de la precisa diagonal argumento de que se sugieren).

Answer 2

La razón es simplemente que los números naturales tienen un número finito de representación. (En la teoría de conjuntos, Cada uno es un número finito de una sucesión a partir de 1, donde el sucesor de n es n+1.) Su esquema de representación esencialmente respeta esto, ya que para cualquier número natural (que estará en la lista), después de cierto número finito de dígitos que se convierte en ceros. Su diagonal elemento va a ser uno de estos, y así en la lista, o una secuencia de unos y ceros que nunca 'ceros'. Esta cadena NO es un número natural; corresponde a nada en su esquema de representación. La razón de la diagonal argumento funciona para números reales es que no tienen un número finito de representación. En la teoría de conjuntos se representan como el límite de una serie infinita.