Ayudar a probar que $ U_{p} $ es un grupo cíclico.

Question

Como parte de mi estudio de Álgebra Abstracta, estoy tratando de probar que $ U_{p} $ es cíclico para $ p $ un número primo. Es un clásico de resultado, pero estoy tratando de probarlo siguientes cuatro pasos que se indican como problemas en un libro. Yo era capaz de manejar los Problemas de $ 1 $$ 2 $, pero $ 3 $ me está dando problemas.

Problema $ 3 $. Deje $ G $ ser un número finito de abelian grupo de orden $ n $ para las que el número de soluciones de la ecuación de $ x^{m} = e_{G} $ es en la mayoría de las $ m $ cualquier $ m $ dividiendo $ n $. Demostrar que $ G $ debe ser cíclica.

Sugerencia: Deje $ \psi(m) $ el número de elementos de a $ G $ orden $ m $. Mostrar que $ \psi(m) \leq \phi(m) $ y usar Problema $ 2 $. ($ \phi $ es de Euler totient función.)

Los otros dos problemas son:

Problema $ 1 $. En un grupo cíclico de orden $ n $, muestran que para cada entero positivo $ m $ que divide $ n $, $ \phi(m) $ elementos de orden $ m $.

Problema $ 2 $. Utilizando Problema $ 1 $, muestran que $ \displaystyle n = \sum_{m|n} \phi(m) $.

Yo sinceramente no tienen ni idea de cómo resolver, o simplemente ataque, el Problema de $ 3 $, así que vine aquí en busca de una mejor sugerencia. Voy a utilizar sólo el grupo básico de la teoría de los resultados hasta del Teorema de Lagrange.

Nota: no Es la tarea, sólo el estudio personal. El libro es I. N. Herstein del Álgebra Abstracta.

Answer 1

Aquí está una prueba sin contradicción.

---

Deje $ m $ ser un factor de $ n = |G| $, y definir $$ A_{m} \stackrel{\text{df}}{=} \{ x \in G \mid {\text{ord}_{G}}(x) = m \}. $$ A continuación, $ \psi(m) = |A_{m}| $ según la definición de $ \psi $. Ahora tenemos dos casos:

Caso 1: $ A_{m} = \varnothing $.

En este caso, $ \psi(m) = 0 $, lo $ \psi(m) \leq \phi(m) $.

Caso 2: $ A_{m} \neq \varnothing $.

Deje $ g \in A_{m} $. A continuación, $ g^{1},\ldots,g^{m} $ son elementos distintos de a $ G $. También son soluciones de $ x^{m} = e $, y así por el requisito impuesto por el problema, son todos de las soluciones. Queda por averiguar cuál de ellos tiene el fin de $ m $.

Elegir un $ k \in \{ 1,\ldots,m \} $.

• Si $ \gcd(k,m) = 1 $,$ {\text{ord}_{G}}(g^{k}) = m $. Para probar esto, deje $ l = {\text{ord}_{G}}(g^{k}) $. A continuación,$ m | k l $, y como $ \gcd(k,m) = 1 $,$ m | l $. Sin embargo, $ (g^{k})^{m} = (g^{m})^{k} = e $, lo $ l = m $.
• Si $ \gcd(k,m) = d > 1 $, $ \dfrac{k}{d} $ $ \dfrac{m}{d} $ son ambos enteros positivos, y $ \dfrac{m}{d} < m $. Como $$ (g^{k})^{\frac{m}{d}} = (g^{m})^{\frac{k}{d}} = e, $$ de ello se desprende que $ {\text{ord}_{G}}(g^{k}) < m $.

Por lo tanto, sólo $ \phi(m) $ elementos de $ G $ tienen orden de $ m $, y por lo $ \psi(m) = \phi(m) $.

---

Conclusión: $ \psi(m) \leq \phi(m) $ para cada factor de $ m $$ n $.

Elaqqad ha demostrado que por encima de ese $ \psi(m) = \phi(m) $ para cada factor de $ m $$ n $. Con el fin de demostrar que el $ G $ es cíclico, se observa que debido a $ \psi(n) = \phi(n) \geq 1 $, existe un elemento de orden $ n $, que es entonces una cíclico generador de $ G $.

Answer 2

Por la sugerencia Por contradicción, supongamos que existe $k$ tal que $\psi(k)> \phi(k)$, tome $a$ uno de los elementos de orden $k$, los elementos de orden $k$ de la forma $a^i$ son los de la forma $a^i$ $\gcd(i,k)=1$ y sólo hay $\varphi(k)$ elementos de orden $k$ de esta forma,pero existe $\psi(k)>\varphi(k)$ elementos de orden $k$, de modo que existe un elemento de orden $k$ que no es de la forma $a^i$ es $b$ por lo tanto la ecuación de $x^k=1$ tiene más de $k$ soluciones que se $e,a,\cdots, a^{k-1},b$. Contradicción.

Para concluir tenemos $\psi(m)\leq \varphi(m)$ por cada $m$ y por tanto: $$n=\sum_{d|n}\psi(d)\leq \sum_{d|n}\varphi(d)=n \tag 1$$ que le da ese $\psi(n)=\varphi(n)$ (si no es la desigualdad de $(1)$ se convierte en estricto $n<n$ no es posible)