Dejemos que $A,B$ sean grupos, y que $G = A\ast B$ sea su producto libre y que $\phi \in \text{Aut}(G)$ sea un automorfismo de $G$ . Decimos que $\phi$ es puntualmente interior si $\phi(g) \sim_G g$ (hay $w \in G$ tal que $\phi(g) = wgw^{-1}$ ) para cada $g \in G$ . No es demasiado difícil demostrar que si $\phi$ es puntualmente interior entonces $\phi$ es realmente interior. Sin embargo, ¿qué pasa si suponemos que $\phi(g) \sim_G g$ para todos $g \in G$ tal que $|g|=2$ , donde $|g|$ denota la longitud de $g$ ? ¿Se puede demostrar entonces que $\phi(g)\sim_G g$ para todos $g\in G$ tal que $|g|=1$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Wei Zhou
Puntos
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Creo que la respuesta es no.
Dejemos que $G$ sea un grupo libre generado por $a, b$ . Entonces $G=\langle a \rangle * \langle b\rangle$ . Dejemos que $\phi: a\rightarrow b, b\rightarrow a$ . Entonces $\phi$ es un automorfismo de $G$ . Dejemos que $g\in G$ con $|g|=2$ entonces $g=a_1b_1$ donde $a_1\in \langle a \rangle$ y $b_1\in \langle b \rangle$ . Ahora $\phi(g)=b_1a_1\sim g$ . Pero $\phi(a)=b \not \sim a$ por el teorema 4.6 de W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar, Combinatorial Group Theory, Pure Appl. Math. vol. XIII, Wiley-Interscience, New York.
------------OK, esta respuesta anterior no es cierta. Pero su método funciona
Dejemos que $a, b$ son el orden $2$ y $G=\langle a \rangle * \langle b\rangle$ . Dejemos que $\phi: a\rightarrow b, b\rightarrow a$ . Entonces lo anterior funciona.
