Encuentre el coeficiente de $x^{30}$ en el polinomio dado $$ \left(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}\right)^5 $$
No sé cómo resolver los problemas con un grado tan alto.
Esto resulta ser una explicación detallada de la respuesta de Jack. $$ \begin{align} \left(\frac{1-x^{13}}{1-x}\right)^5 &=(1-x^{13})^5(1-x)^{-5}\\ &=\sum_{j=0}^5(-1)^j\binom{5}{j}x^{13j}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{-5}{k}x^k\tag{1}\\ &=\sum_{j=0}^5(-1)^j\binom{5}{j}x^{13j}\sum_{k=0}^\infty\binom{k+4}{k}x^k\tag{2}\\ &=\sum_{m=0}^\infty\sum_{j=0}^5(-1)^j\binom{5}{j}\binom{m-13j+4}{m-13j}x^m\tag{3}\\ &=\sum_{m=0}^{60}\sum_{j=0}^5(-1)^j\binom{5}{j}\binom{m-13j+4}{m-13j}x^m\tag{4}\\ &=\sum_{m=0}^{60}\sum_{j=0}^{\lfloor m/13\rfloor}(-1)^j\binom{5}{j}\binom{m-13j+4}{4}x^m\tag{5} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : Teorema del Binomio
$(2)$ : $\binom{-n}{k}=(-1)^k\binom{n+k-1}{k}$
$(3)$ : cambiar las variables $k\mapsto m-13j$
$(4)$ : si $m\gt60$ , entonces la suma en $j$ es una orden $5$ diferencia de un grado $4$ polinomio
$(5)$ : si $k\lt0$ entonces $\binom{n}{k}=0$ ; si $0\le k\le n$ entonces $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$
Enchufar $m=30$ obtenemos el coeficiente de $x^{30}$ para ser $$ \begin{align} \sum_{j=0}^2(-1)^j\binom{5}{j}\binom{34-13j}{4} &=\binom{5}{0}\binom{34}{4}-\binom{5}{1}\binom{21}{4}+\binom{5}{2}\binom{8}{4}\\ &=17151 \end{align} $$
Gracias por los detalles es realmente útil. Entiendo hasta el paso 3 incluido pero estoy perdido en el paso 4. Estaría muy agradecido si pudierais dar algún consejo con ello. Gracias.
Diferencias finitas son aplicaciones repetidas de $f(x)\mapsto f(x)-f(x-1)$ . El $n^{\text{th}}$ la diferencia sería $$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}f(x-k)$$ Nótese que cada diferencia reduce un polinomio en un grado. Así, un $5^{\text{th}}$ diferencia de orden de un $4^{\text{th}}$ de orden se desvanecerá.
El coeficiente que se adjunta a $x^{30}$ será el número de formas de sumar $30$ utilizando los números $0$ - $12$ hasta cinco veces. (Aquí el orden importa)
Por ejemplo $1+1+2+10+6=30$ es una forma.
$10+10+10+0+0=30$ es otro y también lo es $0+10+10+10+0 = 30$ .
La razón de esto es más evidente para los polinomios más pequeños.
Por ejemplo, calculemos el coeficiente de $x^4$ en $(1+x+x^2)^3$ .
$$(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)$$
Al final tendremos todas las combinaciones de productos entre los tres términos. Podemos conseguir $x^4$ es de varias maneras:
$$1\cdot x^2 \cdot x^2$$
$$x^2 \cdot 1 \cdot x^2$$
$$x^2 \cdot x^2 \cdot 1$$
$$x \cdot x \cdot x^2$$
$$x \cdot x^2 \cdot x$$
$$x^2 \cdot x \cdot x$$
Así, tenemos seis formas de conseguir $x^4$ y los poderes de $x$ en cada uno de estos casos suman $4$ . Por lo tanto, el coeficiente de $x^4$ es seis.
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Pista: Teorema del multinomio. O funciones generadoras, si quieres ser elegante.
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Creo que el alto grado es intencional, para obligar a considerar cómo se llega a esos términos cuando se toma un poder de $5$ del polinomio original. ¿Puedes pensar de qué manera podría ocurrir?
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Wolfram Alpha puede mostrar rápidamente la respuesta de $17151$ Aunque estoy seguro de que esa no es la intención del ejercicio. Pregúntese de qué manera un término de $x^{30}$ podría ocurrir, y partir de ahí.