Permítanme intentarlo de nuevo con una respuesta menos personal.
Hay muchos cursos de cálculo de secundaria en muchos niveles diferentes. Para ser sinceros, una respuesta realmente satisfactoria a esta pregunta requeriría indagar en las razones por las que tantos estudiantes de secundaria estadounidenses cursan cálculo hoy en día, y especialmente, cursan cálculo en lugar de el estudio más profundo de las matemáticas de precálculo que solía considerarse adecuado incluso para estudiantes de secundaria muy fuertes hasta su último año. Creo que nos daríamos cuenta de que algunos de los motivos son menos que puros.
En cambio, permítanme que me quede con el modelo de los dos tipos de Cálculo AP. Hay uno llamado "Cálculo AB" y otro llamado "Cálculo BC". Las letras son raras, pero la forma en que yo lo entiendo es que en el primero pasas un año de bachillerato haciendo lo que equivale a un semestre de cálculo de nivel universitario, mientras que en el segundo pasas un año de bachillerato haciendo dos semestres de cálculo de nivel universitario. (Sé que en algunos colegios los alumnos cursan AB en el primer año y BC en el último. Lo desapruebo, en parte porque me da escalofríos imaginarme el cortocircuito de las matemáticas de precálculo que se produce en este caso). Muchos estudiantes que cursan cálculo AB (o, sobre todo, algo menos ambicioso) acaban cursando un primer semestre de cálculo universitario de todos modos.
Por lo tanto, creo que un modelo razonable para los cursos de cálculo de tipo AB es que es un primera introducción suave al cálculo, con la idea de que los alumnos más interesados vuelvan a revisar el material similar con mayor profundidad. Si desea una primera introducción suave, probablemente no deba exigir a los alumnos que hagan $\epsilon$ - $\delta$ pruebas.
Consideremos el primer aspecto de la introducción con más detenimiento. Si abrimos un texto típico de cálculo de primer año, habrá tres secciones sobre límites. La primera será una introducción intuitiva, la segunda te dará herramientas para calcularlos, y la tercera mencionará $\epsilon$ - $\delta$ . No estoy del todo de acuerdo con esta ordenación, pero sí con la idea de que se pasa mucho tiempo con límites en varios niveles de sofisticación, y $\epsilon$ - $\delta$ no es lo primero que se hace con ellos.
Pero ahora déjame decir algo más sobre lo que puedes hacer con los límites. En primer lugar, en una primera introducción al cálculo el énfasis principal debería estar en la derivada, no en el concepto de límite. Tradicionalmente, los libros de cálculo de primer año no hacían esto muy bien (quieren mantener la ilusión de integridad lógica, supongo que porque si tu texto parece superficialmente más completo desde el punto de vista lógico que el del profesor Y, entonces algunos instructores se quejarán del texto del profesor Y y quizás la gente elija el tuyo en su lugar), siguiendo un enfoque de Capítulo 1: precálculo, Capítulo 2: límites, Capítulo 3: derivadas. Más recientemente, los textos de cálculo parecen haberse dado cuenta de que es posible calcular muchas derivadas sin abordar explícitamente el concepto de límite . Desde un punto de vista, esto es lo que hicieron Newton y Leibniz. O más bien, tenían algunas palabras sobre los conceptos de límite, pero esas palabras se quedaban tan lejos de una presentación lógicamente completa que la mayoría de sus contemporáneos y sucesores se limitaron a ignorarlas y a intentar aprender los cálculos (al menos, al principio). Así, por ejemplo, me gustaría calcular la pendiente de la recta tangente a $y = x^2$ en $x = c$ . Mi idea es la siguiente: la pendiente de la recta secante entre $c$ y $c+h$ es
$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} = \frac{(c+h)^2-c^2}{h}$ ,
y quiero evaluar esto en $h = 0$ . Bueno, por supuesto, si yo sólo enchufe $h = 0$ directamente obtengo $\frac{0}{0}$ que no me dice la respuesta. Así que primero hago algo de álgebra, simplificando a
$\frac{c^2+2ch+h^2-c^2}{h} = 2c+h$ .
Ahora puedo conectar sensatamente $h = 0$ , obteniendo $2c$ . Si quiero justificar esto mirando el gráfico de $2c+h$ en función de $h \neq 0$ no hay problema: el valor que me interesa es el agujero de esta gráfica, así que tapo el agujero con el valor del punto.
Este procedimiento funcionará, por supuesto, para todas las funciones polinómicas y racionales, lo cual es un buen punto de partida: nos da mucho trabajo (podemos resolver muchos problemas de optimización utilizando la observación de que en un mínimo o un máximo la pendiente de la línea tangente debe ser horizontal, por ejemplo).
Eventualmente -pero ya me imagino que los cursos de cálculo de la escuela secundaria terminan antes de llegar a esto- querrás ver un ejemplo donde el cálculo de la derivada no es puramente algebraico. Por ejemplo, intentarás diferenciar la función seno en cero y obtendrás $\frac{\sin h}{h}$ . En este punto, lo más honesto es graficar la función para los valores distintos de cero. Seguramente decidirás que quieres que la respuesta sea $1$ pero luego tienes la tarea de explicar lo que está pasando. En mi opinión lo más sencillo es hablar de una clase de funciones cuyas gráficas son "curvas bonitas" y para una curva bonita si simplemente se elimina un punto del dominio se puede ver a partir de los valores cercanos cuál era el valor en ese punto: era el único valor que tapaba el agujero para hacer una curva continua. Aquí estoy aludiendo a la definición de límite en términos de continuidad, que me sorprende no ver en los textos de cálculo de primer año, ya que la idea de que la función es una "bonita curva" cerca de un punto es mucho menos confusa que el koan (acercarse al punto)/(¡lo que ocurre en el punto es irrelevante!) que fríe el cerebro de tantos estudiantes de cálculo.
El siguiente paso es darse cuenta de que la "bonita curva ininterrumpida" no es lo suficientemente útil para los cálculos. Una forma de proceder es (i) suponer que las funciones elementales conocidas son continuas en todos los puntos de su dominio y (ii) escribir "axiomas" para combinar funciones continuas y obtener funciones continuas: a saber, $+,-,\cdot,/$ y $\circ$ . Ya que estamos, podemos asumir algunos resultados básicos que se han observado experimentalmente, por ejemplo, que la definición de $\frac{\sin h}{h}$ para ser $1$ en $h = 0$ da una curva continua. Se puede demostrar entonces que $(\sin x)' = \cos x$ utilizando las identidades trigonométricas básicas y comprobarlo en varios puntos para ver que funciona.
Quizá uno esté contento con esto durante un tiempo y quiera pasar a la integración (Newton y Leibniz lo hicieron). O también, tal vez el curso termina en este punto. O tal vez, eventualmente, demos una descripción de la continuidad en términos de la variación de $y$ siendo siempre controlable haciendo que la variación en $x$ suficientemente pequeño: es decir, discutimos alguna forma del $\epsilon$ - $\delta$ definición de continuidad. Si se hace esto, entonces se debe explicar ciertamente por qué $f,g$ continua implica $f+g$ continua: es que la suma de dos cantidades que puede hacerse arbitrariamente pequeña puede volver a hacerse arbitrariamente pequeña. La continuidad de la función compuesta tiene una moraleja igualmente clara. Hacer cosas como productos y cocientes tiene más que ver con trucos de álgebra que con ideas fundamentales, así que quizá se haga y quizá no.
En resumen: finalmente se debe discutir alguna forma de la $\epsilon$ - $\delta$ definición de continuidad: no me gustaría tener todo un semestre de cálculo universitario de primer año sin decir algo significativo sobre la definición de continuidad. Pero hoy en día casi ningún estudiante termina el cálculo en el instituto, a no ser que decida que lo odia y no quiere tener nada más que ver con él. Así que creo que un desarrollo más pausado de las ideas que permita a los estudiantes hacerse una idea de cómo funciona el cálculo y que sea útil incluso en los ejemplos no triviales más sencillos sería probablemente más apropiado para la mayoría de los cursos de cálculo de tipo AB. Incluso en un curso de cálculo BC probablemente presentaría algunos $\epsilon$ - $\delta$ material en las clases, pero dedican poco o ningún tiempo a pedir a los estudiantes que presenten este tipo de argumentos... a menos que sean excepcionalmente fuertes, estén bien preparados y estén interesados, o a menos que realmente quieran hacerlo.
17 votos
Sólo un poco de mi locura personal: es " $\varepsilon$ guión $\delta$ ", no " $\varepsilon$ menos $\delta$ ", por lo que debería ser
$\varepsilon$-$\delta$
(o$\varepsilon\text{-}\delta$
), no$\varepsilon-\delta$
.1 votos
En mi opinión, los estudiantes deben aprender primero que el cálculo es simple, fácil e intuitivo, y me temo que el $\epsilon - \delta$ cosas pueden ocultar esto. Algunos estudiantes con talento están dispuestos a aprender $\epsilon-\delta$ pruebas en la escuela secundaria, pero no debemos intentar que todos lo hagan.
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La respuesta es sí si estamos hablando de la Escuela Superior de Ciencias del Bronx. Por lo demás, no.
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@littleO: ¿No has leído mi comentario? :/
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Oh @ZevChonoles lo siento, obviamente no lo hice! lol. Es culpa mía. Es bueno saberlo.
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¿Nadie dirá que $\epsilon$ - $\delta$ ¿las pruebas son apropiadas para algunos cursos de cálculo de la escuela secundaria y no en otros? ¿Es demasiado obvio?
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Enseñar a algunas personas no técnicas el cálculo sin $\varepsilon\text{-}\delta$ Y creerán (como muchos lo hicieron en la época pre-Cauchy) que las matemáticas están llenas de cantidades infinitas/infinitesimales ambiguas que sólo tienen "reglas" para trabajar y no tienen ninguna razón para estas reglas - sólo porque las definiciones rigurosas no se dieron en el curso.
8 votos
Cuando el candidato dice "Me parece que la mayoría de los estudiantes de secundaria se sienten cómodos con la noción intuitiva de límite", no estoy de acuerdo en varios aspectos: la mayoría de los estudiantes de cálculo no se sienten cómodos con él; se hacen más preguntas sobre este concepto que sobre cualquier otro. Y no creo que la "noción intuitiva" de un límite sea algo más que poner una caja negra alrededor del concepto de límite y decir "No te preocupes por lo que significa esto en absoluto; sólo mira cómo se usa e intenta copiarlo". Y, por supuesto, el cálculo puede hacerse de esa manera -y así fue, durante cientos de años-, pero no es lo óptimo.
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En mi último comentario, debería haber dicho "no es óptimo para las clases de cálculo de nivel universitario, por lo tanto no necesariamente óptimo para el cálculo de la escuela secundaria". No estoy diciendo que $\epsilon$ - $\delta$ debería cubrirse en todos los cursos de cálculo de la escuela secundaria: por ejemplo, probablemente no sería apropiado en la mayoría de los cursos de nivel AB.
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En mi opinión es mucho más difícil que cualquier otra cosa que se haga en el primer semestre de cálculo (si se hace correctamente): la única forma que conozco de hacerlo es trabajar hacia atrás empezando por la condición $\delta$ necesidades de satisfacer y terminando con una restricción suficiente de $\delta$ . Este tipo de pensamiento no se parece a nada de lo que los estudiantes puedan tener que hacer en el resto del semestre. Algunos estudiantes que pueden hacer todo lo demás, simplemente no pueden manejarlo.
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La mayoría de los estudiantes con formación en cálculo entran en la universidad con la idea de que para evaluar un límite, todo lo que tienen que hacer es sustituir o dividir de alguna manera los factores, porque eso es lo que se les dice mecánicamente que hagan, ignorando felizmente que el límite discute el comportamiento de una función muy cerca de (pero nunca en) un punto dado - es decir en una vecindad borrada. Es una pesadilla para los AT. Los alumnos deberían iniciarse al menos con alguna intuición, como por ejemplo a través de las pruebas de "caja".
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Las pruebas épsilon delta son la estructura básica del mecanismo del cálculo... hay que aprenderlas para apreciar el porqué de las cosas...
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Esta pregunta debería estar en Educadores Matemáticos y no aquí.
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@g------ En el momento en que se hizo esta pregunta (agosto de 2013) no existía Mathematics Educators Stack Exchange. Sin embargo, no me opongo a que se traslade allí ahora.
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@DavidZhang tienes la posibilidad de hacer clic en el botón "reabrir" (justo debajo de tu pregunta, entre los botones "editar" y "marcar".
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Los estudiantes se confunden con el $\epsilon$ - $\delta$ definición del límite porque piensan que es sólo una ofuscación innecesaria para alguna noción intuitiva, y luego se frustran cuando su intuición resulta ser incorrecta o inválida. En realidad no es un concepto difícil, ni está más allá de la capacidad de la mayoría de los estudiantes de secundaria; sin embargo, suele ser su primera introducción a lo que podría llamarse matemáticas, en lugar de sólo cálculo aritmético.