¿Debería una clase de introducción al cálculo en la escuela secundaria enseñar $\varepsilon$ - $\delta$ ¿pruebas?

Question

Me parece que la mayoría de los estudiantes de secundaria se sienten cómodos con la noción intuitiva de un límite ("como $x$ se acerca arbitrariamente a $c$ , $f(x)$ se acerca arbitrariamente a $L$ ") y obtener poca información al aprender el $\varepsilon$ - $\delta$ definición. ¿Es el rigor añadido de la $\varepsilon$ - $\delta$ definición que vale la pena enseñar en la escuela secundaria?

Answer 1

I fuertemente No estoy de acuerdo con la respuesta de Arkemis: no deberíamos diseñar el plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria para atender a la pequeña minoría de estudiantes que se convierten en especialistas en matemáticas puras, que son los únicos que realmente se beneficiarían de ese material. No estoy convencido de que el cálculo deba enseñarse en la escuela secundaria en absoluto (o si se hace, en la forma en que suele aparecer en las escuelas secundarias norteamericanas), mucho más útil sería el tiempo dedicado, digamos, a analizar críticamente las afirmaciones estadísticas hechas por políticos y periodistas.

Tampoco me creo el argumento de que "empujar las definiciones" mejore de algún modo el pensamiento riguroso de los estudiantes. Se puede exigir el mismo rigor y claridad de pensamiento a un análisis de Shakespeare que a un $\epsilon - \delta$ prueba: la solución es exigir un mayor nivel al resto del plan de estudios, no introducir lo que equivale a una trivialidad para el 99,9% de los alumnos.

Por cierto, estoy hablando un matemático puro que se gana la vida con la investigación académica.

Answer 2

Esta es una historia personal, y espero que arroje algo de luz sobre algunas de las tendencias de la educación matemática reciente.

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Fui a un pequeño instituto (de Estados Unidos) que era principalmente un instituto agrícola. El año que cursé cálculo, fue con un profesor en su último año antes de la jubilación. Aprendimos $\epsilon-\delta$ definiciones de límites y derivados antes de aprendimos la "regla del exponente". Sin embargo, no aprendimos realmente la técnica de la demostración, ni la importancia de las definiciones ni la precisión del lenguaje matemático. De hecho, todos estábamos bastante contentos de haber terminado con el formalismo cuando aprendimos que $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Esto fue a finales de los 90.

Luego fui a una escuela de ingeniería muy respetada. Las clases de cálculo, y de hecho, las clases de introducción a la ingeniería, estaban todas diseñadas en torno a Maple. Aunque teníamos que aprender Cálculo, principalmente teníamos que aprenderlo utilizando Maple. En consecuencia, nuestros deberes y exámenes se centraban en cómo aplicar técnicas como la integración por partes en Maple. Teníamos "exámenes de entrada" en el ordenador que requerían que respondiéramos a preguntas en sintaxis basada en Maple.

Dejé mi programa de licenciatura poco antes de terminar, por razones médicas. Cuando volví 4 años más tarde y cambié de especialidad a Matemáticas, tuve que cursar análisis real. Cuando llegamos a las definiciones formales de las derivadas y los límites, el profesor preguntó cuántos de nosotros sabíamos $\epsilon-\delta$ pruebas. Yo era el único.

A continuación, preguntó cuántos de nosotros habíamos pasado por una formación de cálculo basada en Maple. De nuevo, yo era el único.

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En un lapso de no más de ocho años, una destacada universidad estadounidense de primer nivel revisó por completo su enseñanza del cálculo, no una, sino dos veces.

En ambos casos, el material de nivel introductorio dejó a los estudiantes lamentablemente mal preparados para hacer cualquier tipo de matemáticas rigurosas. La introducción de una clase obligatoria de "Introducción a las Pruebas" hizo muy poco para desviar la curva de comprensión en la clase.

A decir verdad, sólo después de mucho tiempo de autoaprendizaje empecé a entender el análisis, el álgebra y las matemáticas.

De hecho, hay quien puede argumentar que el análisis real de la licenciatura no es más que el empuje de las definiciones. Pero mis compañeros de clase ni siquiera sabían dar definiciones. Estábamos irremediablemente perdidos.

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Entonces, dado que los estudiantes de bachillerato en Cálculo son avanzados en matemáticas, ¿debemos enseñar $\epsilon-\delta$ ¿pruebas? En mi opinión, sí. Pero también, en mi opinión, debería hacerse para enseñar lo que significa "demostrar" algo.

No hay nada malo en "empujar la definición" de las matemáticas, especialmente en un nivel temprano. Al mismo tiempo, debemos seguir preparando a los estudiantes no matemáticos para sus carreras en ingeniería, finanzas o ciencias.

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Se supone que el instituto nos prepara para la universidad. Lo mejor que podemos hacer por un estudiante de secundaria que va a la universidad es enseñarle a pensar. El pensamiento riguroso se aplica a muchos campos.

Así que si puedes enseñar $\epsilon-\delta$ con rigor, pero sin perder de vista su imperativo, entonces hágalo.

Si no es así, hay que encontrar un camino diferente. Mi experiencia educativa hizo retroceder mi comprensión matemática 10 años, y "aprendí" de múltiples maneras. Tardé 10 años en comprender lo que se me podría haber enseñado en una sola clase de cálculo bien estructurada.

Así que, para responder a su pregunta, sí. El rigor merece la pena. Pero sólo vale la pena si lo haces bien.

Answer 3

Permítanme intentarlo de nuevo con una respuesta menos personal.

Hay muchos cursos de cálculo de secundaria en muchos niveles diferentes. Para ser sinceros, una respuesta realmente satisfactoria a esta pregunta requeriría indagar en las razones por las que tantos estudiantes de secundaria estadounidenses cursan cálculo hoy en día, y especialmente, cursan cálculo en lugar de el estudio más profundo de las matemáticas de precálculo que solía considerarse adecuado incluso para estudiantes de secundaria muy fuertes hasta su último año. Creo que nos daríamos cuenta de que algunos de los motivos son menos que puros.

En cambio, permítanme que me quede con el modelo de los dos tipos de Cálculo AP. Hay uno llamado "Cálculo AB" y otro llamado "Cálculo BC". Las letras son raras, pero la forma en que yo lo entiendo es que en el primero pasas un año de bachillerato haciendo lo que equivale a un semestre de cálculo de nivel universitario, mientras que en el segundo pasas un año de bachillerato haciendo dos semestres de cálculo de nivel universitario. (Sé que en algunos colegios los alumnos cursan AB en el primer año y BC en el último. Lo desapruebo, en parte porque me da escalofríos imaginarme el cortocircuito de las matemáticas de precálculo que se produce en este caso). Muchos estudiantes que cursan cálculo AB (o, sobre todo, algo menos ambicioso) acaban cursando un primer semestre de cálculo universitario de todos modos.

Por lo tanto, creo que un modelo razonable para los cursos de cálculo de tipo AB es que es un primera introducción suave al cálculo, con la idea de que los alumnos más interesados vuelvan a revisar el material similar con mayor profundidad. Si desea una primera introducción suave, probablemente no deba exigir a los alumnos que hagan $\epsilon$ - $\delta$ pruebas.

Consideremos el primer aspecto de la introducción con más detenimiento. Si abrimos un texto típico de cálculo de primer año, habrá tres secciones sobre límites. La primera será una introducción intuitiva, la segunda te dará herramientas para calcularlos, y la tercera mencionará $\epsilon$ - $\delta$ . No estoy del todo de acuerdo con esta ordenación, pero sí con la idea de que se pasa mucho tiempo con límites en varios niveles de sofisticación, y $\epsilon$ - $\delta$ no es lo primero que se hace con ellos.

Pero ahora déjame decir algo más sobre lo que puedes hacer con los límites. En primer lugar, en una primera introducción al cálculo el énfasis principal debería estar en la derivada, no en el concepto de límite. Tradicionalmente, los libros de cálculo de primer año no hacían esto muy bien (quieren mantener la ilusión de integridad lógica, supongo que porque si tu texto parece superficialmente más completo desde el punto de vista lógico que el del profesor Y, entonces algunos instructores se quejarán del texto del profesor Y y quizás la gente elija el tuyo en su lugar), siguiendo un enfoque de Capítulo 1: precálculo, Capítulo 2: límites, Capítulo 3: derivadas. Más recientemente, los textos de cálculo parecen haberse dado cuenta de que es posible calcular muchas derivadas sin abordar explícitamente el concepto de límite . Desde un punto de vista, esto es lo que hicieron Newton y Leibniz. O más bien, tenían algunas palabras sobre los conceptos de límite, pero esas palabras se quedaban tan lejos de una presentación lógicamente completa que la mayoría de sus contemporáneos y sucesores se limitaron a ignorarlas y a intentar aprender los cálculos (al menos, al principio). Así, por ejemplo, me gustaría calcular la pendiente de la recta tangente a $y = x^2$ en $x = c$ . Mi idea es la siguiente: la pendiente de la recta secante entre $c$ y $c+h$ es

$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} = \frac{(c+h)^2-c^2}{h}$ ,

y quiero evaluar esto en $h = 0$ . Bueno, por supuesto, si yo sólo enchufe $h = 0$ directamente obtengo $\frac{0}{0}$ que no me dice la respuesta. Así que primero hago algo de álgebra, simplificando a

$\frac{c^2+2ch+h^2-c^2}{h} = 2c+h$ .

Ahora puedo conectar sensatamente $h = 0$ , obteniendo $2c$ . Si quiero justificar esto mirando el gráfico de $2c+h$ en función de $h \neq 0$ no hay problema: el valor que me interesa es el agujero de esta gráfica, así que tapo el agujero con el valor del punto.

Este procedimiento funcionará, por supuesto, para todas las funciones polinómicas y racionales, lo cual es un buen punto de partida: nos da mucho trabajo (podemos resolver muchos problemas de optimización utilizando la observación de que en un mínimo o un máximo la pendiente de la línea tangente debe ser horizontal, por ejemplo).

Eventualmente -pero ya me imagino que los cursos de cálculo de la escuela secundaria terminan antes de llegar a esto- querrás ver un ejemplo donde el cálculo de la derivada no es puramente algebraico. Por ejemplo, intentarás diferenciar la función seno en cero y obtendrás $\frac{\sin h}{h}$ . En este punto, lo más honesto es graficar la función para los valores distintos de cero. Seguramente decidirás que quieres que la respuesta sea $1$ pero luego tienes la tarea de explicar lo que está pasando. En mi opinión lo más sencillo es hablar de una clase de funciones cuyas gráficas son "curvas bonitas" y para una curva bonita si simplemente se elimina un punto del dominio se puede ver a partir de los valores cercanos cuál era el valor en ese punto: era el único valor que tapaba el agujero para hacer una curva continua. Aquí estoy aludiendo a la definición de límite en términos de continuidad, que me sorprende no ver en los textos de cálculo de primer año, ya que la idea de que la función es una "bonita curva" cerca de un punto es mucho menos confusa que el koan (acercarse al punto)/(¡lo que ocurre en el punto es irrelevante!) que fríe el cerebro de tantos estudiantes de cálculo.

El siguiente paso es darse cuenta de que la "bonita curva ininterrumpida" no es lo suficientemente útil para los cálculos. Una forma de proceder es (i) suponer que las funciones elementales conocidas son continuas en todos los puntos de su dominio y (ii) escribir "axiomas" para combinar funciones continuas y obtener funciones continuas: a saber, $+,-,\cdot,/$ y $\circ$ . Ya que estamos, podemos asumir algunos resultados básicos que se han observado experimentalmente, por ejemplo, que la definición de $\frac{\sin h}{h}$ para ser $1$ en $h = 0$ da una curva continua. Se puede demostrar entonces que $(\sin x)' = \cos x$ utilizando las identidades trigonométricas básicas y comprobarlo en varios puntos para ver que funciona.

Quizá uno esté contento con esto durante un tiempo y quiera pasar a la integración (Newton y Leibniz lo hicieron). O también, tal vez el curso termina en este punto. O tal vez, eventualmente, demos una descripción de la continuidad en términos de la variación de $y$ siendo siempre controlable haciendo que la variación en $x$ suficientemente pequeño: es decir, discutimos alguna forma del $\epsilon$ - $\delta$ definición de continuidad. Si se hace esto, entonces se debe explicar ciertamente por qué $f,g$ continua implica $f+g$ continua: es que la suma de dos cantidades que puede hacerse arbitrariamente pequeña puede volver a hacerse arbitrariamente pequeña. La continuidad de la función compuesta tiene una moraleja igualmente clara. Hacer cosas como productos y cocientes tiene más que ver con trucos de álgebra que con ideas fundamentales, así que quizá se haga y quizá no.

En resumen: finalmente se debe discutir alguna forma de la $\epsilon$ - $\delta$ definición de continuidad: no me gustaría tener todo un semestre de cálculo universitario de primer año sin decir algo significativo sobre la definición de continuidad. Pero hoy en día casi ningún estudiante termina el cálculo en el instituto, a no ser que decida que lo odia y no quiere tener nada más que ver con él. Así que creo que un desarrollo más pausado de las ideas que permita a los estudiantes hacerse una idea de cómo funciona el cálculo y que sea útil incluso en los ejemplos no triviales más sencillos sería probablemente más apropiado para la mayoría de los cursos de cálculo de tipo AB. Incluso en un curso de cálculo BC probablemente presentaría algunos $\epsilon$ - $\delta$ material en las clases, pero dedican poco o ningún tiempo a pedir a los estudiantes que presenten este tipo de argumentos... a menos que sean excepcionalmente fuertes, estén bien preparados y estén interesados, o a menos que realmente quieran hacerlo.

Answer 4

Soy de Italia y nací en 1974. Aprendí Cálculo en un Liceo científico un instituto que debía preparar para cursar estudios científicos en la universidad. Era 1993, y mucho ha cambiado en los últimos años. Mi profesor solía enseñar la rigurosa $\varepsilon$ & $\delta$ enfoque esencialmente desde el principio. Por eso, como profesor asistente, soy bastante escéptico con esos libros de texto estadounidenses que introducen los límites como si hablaran en un programa de televisión. Soy consciente de que, en Europa, estamos muy influenciados por la escuela francesa de Bourbaki, y muchos colegas enseñan ahora como en Estados Unidos. Sin embargo, también debo señalar que mis alumnos de la universidad saben menos matemáticas que nosotros hace veinte años. Y creen que las matemáticas son algo que se puede hacer con las manos, sin entender realmente las definiciones. Pueden calcular los límites, pero no pueden definir el concepto de límites. Y, lo que es peor, no quieren aprender la definición rigurosa. En mi humilde opinión, las matemáticas deberían enseñarse (y, por tanto, aprenderse) correctamente lo antes posible. Si a los 18 años no puedes entender las definiciones básicas del Cálculo, entonces deberías pensar seriamente en una carrera de humanidades.

Answer 5

Se supone que el $\epsilon$ - $\delta$ El método de enseñanza de los límites y la continuidad es el más "riguroso". No es el más intuitivo. Prefiero hacer hincapié en los dominios de las funciones reales, como $(x^2-1)/ (x-1)$ que se define en todos los reales excepto $1$ . Así que tiene una extensión a todos los reales dando la función $x+1$ que es continua. También se necesitan ejemplos de funciones no continuas, como $f(x)= x$ para $x \geqslant 1$ , $f(x)= -1$ para $x<1$ . Se puede definir una vecindad de un punto $x \in \mathbb R$ para ser cualquier conjunto de reales que contenga un intervalo abierto que contenga $x$ y utilizar la definición de continuidad de la vecindad, ilustrada con imágenes. La página web $\epsilon$ - $\delta$ método se pone en su lugar como una herramienta de cálculo, en la que el $\epsilon$ , $\delta$ son una medida a veces conveniente del tamaño de determinados barrios, más que un aspecto geométrico.

He aquí una figura para la definición de la continuidad

y otro para un ejemplo de función no continua

ambos tomados de mi libro Topología y Groupoides . En realidad, la segunda ilustra $f^{-1}(N) $ no es vecina de $1$ . (Todo esto se desarrolló en los años 70 en la Universidad de Hull para estudiantes de primer año y se publicó en un libro "A preliminary course in analysis" de R.M.F. Moss y G. Roberts (disponible en amazon). Los estudiantes, un grupo heterogéneo, parecían bastante contentos con este enfoque).

La pregunta se refería a lo que es apropiado para la escuela secundaria. No pretendo tener experiencia en esto, ¡pero sí creo en el uso de imágenes!

En este enfoque se desarrollan reglas para construir funciones continuas, y esto es relevante para los enfoques modernos en los que se enfatiza la categoría de espacios topológicos y funciones continuas, en lugar de sólo la noción de un espacio topológico.

Otro ejemplo para todo esto es comparar las salidas de una radio cuando se cambia el mando de volumen o el de sintonización. Uno quiere que el primer cambio sea continuo, mientras que el segundo sea aproximadamente no continuo, para que se obtenga una sintonía nítida.