Límite de $\frac{(x^x)}{(x!)}$ $x$ acerca a infinito

Question

Por lo tanto, estoy aprendiendo los límites ahora en clase de cálculo.

Cuando $x$ acerca a infinito, ¿qué significa este método de expresión?

$$\frac{(x^x)}{(x!)}$$

¿Por qué? Desde entonces, la parte inferior es $x!$, no significa que el fondo va a cero más rápido, por lo tanto todo acerca a 0?

Answer 1

Aquí es $10^{10}$:

$$10 \cdot 10 \cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$$

Aquí es $10!$:

$$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

¿Que uno es más grande? Llevar pensado para números más grandes, y verás la respuesta.

Answer 2

Hint $$\frac{x^x}{x!} > \frac{x}{1}$$

Answer 3

Pensé que había que ir a por más "apropiada" para la prueba. Observe que, si dejamos $a_n = n^n/n!$ podemos escribir que

$$ a_{n+1}-a_n = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1)^{n+1}-(n+1)n^n}{(n+1)!} $$ que luego puede ser escrito como $$ \frac{(n+1)^n-n^n}{n!} $$

Ahora, usando el teorema del binomio, el primer término restante en el numerador es $$ \binom{n}{1}n^n\cdot1^n = n^{n+1} $$ Y todos los términos en el numerador es positivo. Por lo tanto, tenemos $$ a_{n+1}-a_n > \frac{n^{n+1}}{n!} = na_n $$ y así $$ a_{n+1} > (n+1)a_n $$ Por lo tanto, como $a_1=1$, podemos ver claramente que (por $n>1$) $$ a_n > \frac{n!}2 $$ y así $$ \lim_{n\to \infty} a_n \to \infty $$

Answer 4

Esta proporción crece a la tasa $e^x \sqrt{2 \pi x}(1+o(1))$ que tiende a infininty $x \to \infty$