Evaluar un límite de una integral

Question

¿Alguien podría dar una sugerencia para calcular este límite por favor? $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^3}}}\int_0^x {\frac{{{t^2}}}{{1 + {t^4}}}dt}$ $ Gracias de antemano.

Answer 1

Responder a las siguientes:

• ¿Si $\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \text{ d}t$, y $\displaystyle f$ es continua, entonces lo que $\displaystyle F'(x)$ (derivado de $\displaystyle F$)?
• ¿Qué es $\displaystyle \lim_{x \to 0} \int_{0}^{x} f(t) \text{ d}t$ % continua $\displaystyle f$?
• ¿Conoces la regla de L'Hopital?

Answer 2

Sugerencia: use la sustitución $u=t/x$, entonces solo cancelar y enchufe en $x=0$.

Answer 3

Uno puede hacer esto de una manera elemental y explícita: escriba $\dfrac{t^2}{1+t^4}=t^2-A(t)$ $A(t)=\dfrac{t^6}{1+t^4}$ por lo tanto, $0\le A(t)\le t^6$. Esta integración de $t=0$ $t=x$ y dividiendo por $x^3$ rendimientos que cumple con el % de relación $R(x)$uno está interesado en $$ \frac13-\frac17x^4\le R (x) \le\frac13. $$ De esta doble desigualdad, el límite de $R(x)$ $x\to0$ debe ser clara.

Answer 4

Poner $\displaystyle f(x):=\int_0^x\frac{t^2}{1+t^4}dt$. Es una función lisa. Tenemos $f(0)=f'(0)=f''(0)$, y para aplicar el Teorema de Taylor calcular $f^{(3)}(0)$. Tenemos $f'(x) = \dfrac{x^2}{1+x^4}$ por lo tanto, $$f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}x=\lim_{x\to 0}\frac x{1+x^4}=0.$ $ desde $f''(x) = \dfrac{2x}{1+x^4}-\dfrac{4x^5}{(1+x^4)^2}$, conseguimos %#% $ de #% Teorema de Taylor da que $$f^{(3)}(0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f''(x)-f''(0)}x= 2.$, donde $f(x)=f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}2f''(0)+\frac{x^3}{6}f^{(3)}(0)+x^3\varepsilon(x) =\frac{x^3}{6}f^{(3)}(0)+x^3\varepsilon(x)$. Concluimos que el límite es donde buscando $\displaystyle \lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0$.

Answer 5

Aquí está una solución heurística: cuando es pequeño $t$, $t^2/(1+t^4) \approx t^2$. Así que si $x$ es pequeña, $$ \int_0^x t^2/(1+t^4) \: dt \approx \int_0^x t^2 \: dt = x^3/3 $ $ y esto sugiere que su límite es $1/3$. Esto puede hacer riguroso por los métodos que ya se han mencionado.