@Martin Ueding dio una buena introducción a las ecuaciones de campo de Einstein. Quiero mencionar algunos puntos más aquí relacionados con la pregunta.
Primero tengo que admitir que no tengo una respuesta definitiva a esto: no sé si hay una formulación de GR en términos del tensor de curvatura de Riemann simple, pero puedo dar algunos puntos por qué incluso si se pudiera construir uno, sería inferior a la "formulación estándar" sobre el tensor de Ricci y el escalar de curvatura.
"La mayoría de simetrías e identidades en la geometría de Riemann son en términos del tensor de curvatura de Riemann." eso podría ser cierto en un sentido de que el tensor de Riemann tiene simetría anti simétrica, simetría de intercambio y dos identidades de Bianchi pero también es un tensor de rango 4. Si uno usa todas esas simetrías se puede reducir el número de componentes independientes a 20 (en caso de 4 dimensiones). El tensor de Ricci tiene solo una simetría pero es solo de rango 2; por lo tanto, tiene solo 10 componentes independientes (en caso de 4 dimensiones). El tensor de Riemann tiene más simetrías pero aún el doble de la cantidad de componentes independientes en comparación con el tensor de Ricci.
Dicho esto: el tensor de Ricci es la contracción del tensor de Riemann (@Martin Ueding ya lo señaló). Pero en realidad es la única contracción significativa del tensor de Riemann: todas las demás se anulan o son proporcionales a ella. La razón de esto son las simetrías del tensor de Riemann.
En GR consideramos la curvatura del espacio tiempo de cuatro dimensiones: lo que da 10 componentes independientes de la métrica (potenciales métricos). Las ecuaciones de campo de Einstein nos dan 10 ecuaciones para esos 10 potenciales métricos. Además de 4 ecuaciones de restricción adicionales basadas en una propiedad muy importante del tensor de Einstein: la divergencia covariante del tensor de Einstein es cero: $$G^{\alpha\mu}_{~;\mu}=0.$$
El profesor que me enseñó GR mencionó una vez que Einstein luchó bastante para hacer esto correctamente: esa es la razón por la que se necesita el escalar de curvatura en el tensor de Einstein. A partir de las ecuaciones de campo, el hecho de que la divergencia covariante de $G^{\alpha\beta}$ se anule implica la anulación de la divergencia del tensor de momento energía. Esto es equivalente a las ecuaciones de Euler clásicas en GR. Esta es una característica muy importante de la teoría desde un punto de vista físico. Desde un punto de vista del cálculo tensorial, el hecho de que la divergencia covariante de $R^{\alpha\beta}-\frac12g^{\alpha\beta}R$ sea cero es sin embargo una consecuencia directa de la segunda identidad de Bianchi.
Entonces, las ecuaciones de campo de Einstein nos dan $10+4$ ecuaciones para nuestros 10 potenciales métricos, usando la única contracción no nula del tensor de Riemann (y nuevamente su contracción). Las simetrías del tensor de Riemann y sus identidades de Bianchi son en realidad parte integral de las ecuaciones de Einstein. Son la razón por la que el tensor de Einstein se ve como lo hace y se comporta como lo hace.
Creo que solo mirando los grados de libertad no tendría sentido ni siquiera intentar formular ecuaciones de campo sobre el tensor de Riemann. Aparte de eso, se necesitaría llevar los términos fuente (tensor de momento de energía) a un tensor de rango 4 garantizando la conservación del momento de energía, lo que podría ser imposible o solo posible con muchas restricciones adicionales. @Prahar realmente hizo un punto en esa dirección sobre el tensor de Weyl y que una ecuación para el tensor de Riemann en sí mismo no puede ser equivalente a las ecuaciones de campo de Einstein sin restricciones adicionales sobre su contracción.
Tal vez sea posible ampliar las ecuaciones de campo a ecuaciones de rango 4 pero hacerlo haría que el problema sea mucho más complejo y traería grados de libertad que simplemente no existen. Para obtener algo "físico", es decir, algunas ecuaciones capaces de describir el efecto de GR, se necesitarían restricciones adicionales sobre las ecuaciones de los tensores de rango 4. Si fuera posible, esas ecuaciones de campo sobre el tensor de Riemann codificarían el problema mucho más simple de las ecuaciones de campo de Einstein de rango 2.
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@Qmechanic Aprecio tu amable edición.