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¿Se podrían formular las ecuaciones del campo gravitacional en términos del tensor de curvatura de Riemann (en lugar del tensor de curvatura de Ricci)?

Las simetrías e identidades más importantes en geometría de Riemann son en términos del tensor de curvatura de Riemann. Uno puede preguntarse por qué las ecuaciones del campo gravitacional no están en términos de este tensor principal de geometría (pseudo)Riemanniana, es decir, sin ninguna contracción con la métrica.

Sin embargo, la contracción con el derivado covariante, el tensor de torsión (y similares) está bien.

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@Qmechanic Aprecio tu amable edición.

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Por supuesto que La respuesta de Prahar de que las ecuaciones de campo que restringen completamente el tensor de curvatura de Riemann no son las ecuaciones de campo de Einstein es completamente correcta, pero aquí hay una "motivación" fenomenológica / matemática sobre por qué las ecuaciones de campo solo restringen la contracción (es decir, el tensor de Ricci): si las ecuaciones de campo solas restringieran completamente el tensor de curvatura, no habría forma de que diferentes condiciones límite afectasen el tensor de curvatura, la geometría de un sistema y, por lo tanto, la física gravitacional del sistema.

Para entender esto, recordemos primero cómo las ecuaciones de campo, junto con las condiciones límite, definen completamente el tensor de Riemann.

  1. Directamente, las ecuaciones de campo definen el tensor de Ricci (que define cómo el volumen local se contrae y expande en diferentes posiciones en el espacio tiempo). Esta definición deja el tensor de Weyl no restringido. El Weyl define cómo la forma de volúmenes de prueba en el espacio tiempo se ve afectada por la gravitación;

  2. Sin embargo, a partir del tensor de Ricci, se puede formar el tensor de Schouten. Las derivadas del tensor de Schouten realmente definen las derivadas del tensor de Weyl. Entonces ahora podemos introducir condiciones límite para completar la definición del Weyl. Por lo tanto, las derivadas del Ricci, junto con condiciones límite apropiadas en una hiper-superficie apropiada, definen el Weyl, y así las condiciones límite Ricci-definidas definen completamente el tensor de Riemann.

Imagina qué extraña sería la situación matemática sin la capacidad de establecer condiciones límite de forma independiente. Los sistemas que tuvieran la misma distribución de energía y esfuerzo dentro de un volumen de control pero que difiriesen fuera del volumen necesariamente tendrían la misma geometría dentro del volumen de control y no habría forma de que el exterior "comunicase" con el interior. Esta admisión de condiciones límite a través de grados de libertad, anuladas por la diferenciación, en el Weyl permite, entre muchas otras cosas, la existencia de soluciones al vacío no triviales y ondas gravitacionales.

Véase también la excelente respuesta de Cesaruliana a una pregunta muy similar.

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"Pensad en lo extraña que sería la situación matemática sin la capacidad de establecer condiciones límite de forma independiente ... eso es exactamente cómo funciona la RG en $1 + 1$ y $2 + 1$ dimensiones de espacio tiempo, porque el tensor de Weyl se anula trivialmente. Y de hecho es extraño."

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@tparker De hecho. Recuerdo cuando conocí por primera vez estas soluciones de baja dimensión y me llevó mucho tiempo leer para asegurarme de que mi comprensión fuera correcta. ¡No podía creer que las cosas fueran tan diferentes!

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Prahar Puntos 6600

Creo que tu pregunta se hizo más precisa con tu comentario en otra respuesta.

Está bien. Pero me refiero a que las ecuaciones se formulen de manera precisa en términos del tensor de curvatura de Riemann sin ninguna contracción y cosas por el estilo.

Las ecuaciones de Einstein imponen una restricción sobre el tensor de Ricci, que es una cierta contracción del tensor de Riemann. Sin embargo, no dicen nada sobre el tensor de Weyl, que es la parte sin trazas del tensor de Riemann.

Cualquier conjunto de ecuaciones que involucren el tensor completo de curvatura de Riemann sin ninguna contracción necesariamente impondrían restricciones sobre el tensor de Weyl y, por lo tanto, no son equivalentes a las ecuaciones de Einstein.

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Joachim Sauer Puntos 136

¡Las ecuaciones del campo de Einstein están en términos del tensor de curvatura de Riemann! Simplemente se contrae con la métrica una vez para dar el tensor de curvatura de Ricci. Eso luego se contrae con la métrica nuevamente para dar el escalar de Ricci. Una combinación de ambos tensor y escalar.

Entonces tienes el tensor de Ricci (dos índices) del tensor de Riemann (cuatro índices): $R_{\nu\beta} = R^\alpha{}_{\nu\alpha\beta}$.

Luego formas el escalar de Ricci: $\mathcal R = g^{\nu\beta} R_{\nu\beta}$.

Entonces el tensor de Einstein es este: $G^{\mu\nu} = R^{\mu\nu} - \frac 12 \mathcal R$.

Y finalmente la ecuación de campo es $G^{\mu\nu} = 8 \pi G T^{\mu\nu}$ donde el $G$ de la izquierda es el tensor de Einstein y el $G$ de la derecha es la constante gravitacional.

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Bien. Pero me refiero a que las ecuaciones sean formuladas precisamente en términos del tensor de curvatura de Riemann sin ninguna contracción y similares.

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Hay formulaciones libres de coordenadas de la relatividad general. Un conferenciante me dijo que en física no son tan útiles ya que para problemas concretos uno tiene que introducir coordenadas de todos modos. No sé cómo escribir las ecuaciones sin coordenadas. ¿Quizás puedas reformular tu pregunta para pedir esta formulación?

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@J.Pak, ¿tienes en mente un término fuente de tensor de rango 4?

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M. J. Steil Puntos 185

@Martin Ueding dio una buena introducción a las ecuaciones de campo de Einstein. Quiero mencionar algunos puntos más aquí relacionados con la pregunta.

Primero tengo que admitir que no tengo una respuesta definitiva a esto: no sé si hay una formulación de GR en términos del tensor de curvatura de Riemann simple, pero puedo dar algunos puntos por qué incluso si se pudiera construir uno, sería inferior a la "formulación estándar" sobre el tensor de Ricci y el escalar de curvatura.

"La mayoría de simetrías e identidades en la geometría de Riemann son en términos del tensor de curvatura de Riemann." eso podría ser cierto en un sentido de que el tensor de Riemann tiene simetría anti simétrica, simetría de intercambio y dos identidades de Bianchi pero también es un tensor de rango 4. Si uno usa todas esas simetrías se puede reducir el número de componentes independientes a 20 (en caso de 4 dimensiones). El tensor de Ricci tiene solo una simetría pero es solo de rango 2; por lo tanto, tiene solo 10 componentes independientes (en caso de 4 dimensiones). El tensor de Riemann tiene más simetrías pero aún el doble de la cantidad de componentes independientes en comparación con el tensor de Ricci.

Dicho esto: el tensor de Ricci es la contracción del tensor de Riemann (@Martin Ueding ya lo señaló). Pero en realidad es la única contracción significativa del tensor de Riemann: todas las demás se anulan o son proporcionales a ella. La razón de esto son las simetrías del tensor de Riemann.

En GR consideramos la curvatura del espacio tiempo de cuatro dimensiones: lo que da 10 componentes independientes de la métrica (potenciales métricos). Las ecuaciones de campo de Einstein nos dan 10 ecuaciones para esos 10 potenciales métricos. Además de 4 ecuaciones de restricción adicionales basadas en una propiedad muy importante del tensor de Einstein: la divergencia covariante del tensor de Einstein es cero: $$G^{\alpha\mu}_{~;\mu}=0.$$

El profesor que me enseñó GR mencionó una vez que Einstein luchó bastante para hacer esto correctamente: esa es la razón por la que se necesita el escalar de curvatura en el tensor de Einstein. A partir de las ecuaciones de campo, el hecho de que la divergencia covariante de $G^{\alpha\beta}$ se anule implica la anulación de la divergencia del tensor de momento energía. Esto es equivalente a las ecuaciones de Euler clásicas en GR. Esta es una característica muy importante de la teoría desde un punto de vista físico. Desde un punto de vista del cálculo tensorial, el hecho de que la divergencia covariante de $R^{\alpha\beta}-\frac12g^{\alpha\beta}R$ sea cero es sin embargo una consecuencia directa de la segunda identidad de Bianchi.

Entonces, las ecuaciones de campo de Einstein nos dan $10+4$ ecuaciones para nuestros 10 potenciales métricos, usando la única contracción no nula del tensor de Riemann (y nuevamente su contracción). Las simetrías del tensor de Riemann y sus identidades de Bianchi son en realidad parte integral de las ecuaciones de Einstein. Son la razón por la que el tensor de Einstein se ve como lo hace y se comporta como lo hace.

Creo que solo mirando los grados de libertad no tendría sentido ni siquiera intentar formular ecuaciones de campo sobre el tensor de Riemann. Aparte de eso, se necesitaría llevar los términos fuente (tensor de momento de energía) a un tensor de rango 4 garantizando la conservación del momento de energía, lo que podría ser imposible o solo posible con muchas restricciones adicionales. @Prahar realmente hizo un punto en esa dirección sobre el tensor de Weyl y que una ecuación para el tensor de Riemann en sí mismo no puede ser equivalente a las ecuaciones de campo de Einstein sin restricciones adicionales sobre su contracción.

Tal vez sea posible ampliar las ecuaciones de campo a ecuaciones de rango 4 pero hacerlo haría que el problema sea mucho más complejo y traería grados de libertad que simplemente no existen. Para obtener algo "físico", es decir, algunas ecuaciones capaces de describir el efecto de GR, se necesitarían restricciones adicionales sobre las ecuaciones de los tensores de rango 4. Si fuera posible, esas ecuaciones de campo sobre el tensor de Riemann codificarían el problema mucho más simple de las ecuaciones de campo de Einstein de rango 2.

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Sean Bannister Puntos 141

Claro que pueden. La respuesta proviene de la descomposición de Ricci y las ecuaciones de Einstein.

Sea $T$ la traza del tensor de energía-impulso, sea $S_{ab}$ la parte sin traza del tensor de energía-impulso, y sea $C_{abcd}$ el tensor de Weyl, sea $\kappa$ la constante de proporcionalidad para las ecuaciones de Einstein $8\pi G/c^4$, y el resultado es

$$R_{abcd} = -\frac{\kappa T}{6} g_{a[c} g_{b]d} + C_{abcd} + \kappa g_{a[c} S_{b]d} - g_{b[c} S_{d]a}$$

El tensor de Weyl $C_{abcd}$ contiene todos los grados de libertad de radiación gravitacional. Todos los otros términos provienen directamente del tensor de energía-impulso.

En otras palabras, las ecuaciones de Einstein eliminan los grados de libertad de radiación gravitacional para relacionar directamente la energía de tensión con la curvatura. Escribir las ecuaciones en términos del tensor de Riemann simplemente hace que esos términos de radiación gravitacional sean explícitos nuevamente.

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Gracias, pero algunas partes del tensor de Weyl están escritas en términos del tensor de Ricci y el escalar de Ricci (?).

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@J.Pak Y a través de las ecuaciones de Einstein, puedes intercambiar el tensor de Ricci y el escalar de Ricci por términos que involucran el tensor de energía-impulso y su traza, que es exactamente lo que he hecho aquí.

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