¿Existe un argumento sencillo para explicar por qué una matriz simétrica aleatoria tiene valores propios distintos?

Question

Generemos una matriz simétrica aleatoria $A$ generando las entradas de una matriz aleatoria $Z$ iid de alguna distribución continua, y estableciendo $A=(1/2)(Z+Z^T)$ . Creo que es cierto que $A$ debe tener valores propios distintos con probabilidad $1$ Y parece que debería haber un argumento muy sencillo en este sentido, pero no lo veo.

Answer 1

Una matriz $A$ tiene valores propios distintos si y sólo si el discriminante de su polinomio característico es distinto de cero. Se trata de una función polinómica de las entradas de $A$ por lo que el conjunto de puntos en los que es igual a cero se comporta lo mejor posible; en particular, tiene medida cero en cualquier distribución razonable.