Convergencia de una suma doble

Question

Sea$(a_i)_{i=1}^\infty$ una secuencia de números positivos tales que$\sum_1^\infty a_i < \infty$. ¿Qué podemos decir sobre la serie doble$$\sum_{i, j=1}^\infty a_{i+ j}^p\ ?$ $ ¿Podemos encontrar algunos valores de$p$ para los que converge? Estoy especialmente interesado en$p=2$.

Intuitivamente estoy inclinado a pensar que la serie converge para$p \ge 2$. Esta intuición proviene del continuum analógico$f(x)= x^a, \quad x>1$: si$a<-1$ tenemos

ps

Y$$\int_1^\infty f(x)\ dx < \infty$ es$F(x, y)=f(x+y)$ - integrable en$p$ para$(1, \infty) \times (1, \infty)$.

Answer 1

En suma, el resultado es falso en general (véase la primera parte del post de abajo), trivialmente falsa para nonincreasing secuencias de $(a_n)$ si $p<2$ (considere el $a_n=n^{-2/p}$) y cierto para nonincreasing secuencias de $(a_n)$ si $p\ge2$ (véase la segunda parte de el post de abajo).

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Reordenando términos, se ve que el doble de la serie converge si y sólo si la serie simple $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}na_n^p$. Pero esto no debe ser el caso.

Para ser más específicos, elija un número real positivo $r$ y deje $a_n=0$ por cada $n$ no $p$la potencia de un número entero (ver notas) y $a_{i^p}=i^{-(1+r)}$ por cada positivo $i$. A continuación, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ converge porque $\sum\limits_{i=1}^{+\infty}i^{-(1+r)}$ pero $na_{n}^p=i^{-pr}$ $n=i^p$ por lo tanto $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}na_n^p$ diverge para lo suficientemente pequeño $r$.

Notas:
(1) Si $p$ no es un número entero, leer $\lfloor i^p\rfloor$ en lugar de $i^p$.
(2) Si el hecho de que algunos $a_n$ cero es un problema, sustituya estos valores positivos que no cambie la convergencia/divergencia de la serie considerada, por ejemplo, añada $2^{-n}$ a todos los $a_n$.

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De acuerdo con el caso específico al $(a_n)$ es nonincreasing, suponer sin pérdida de generalidad que $a_n\le1$ por cada $n$ e introducir los valores enteros secuencia $(t_i)$ definido por $$ a_n\ge2^{-i} \ffi n\le t_i. $$ En otras palabras, $$ t_i=\sup\{n\mediados de a_n\ge2^{-i}\}. $$ A continuación, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\ge u$ $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}na_n^p\le v$ con $$ u=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}2^{-i}(t_i-t_{i-1}),\quad v=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}2^{-ip-1}(t_{i+1}^2-t_i^2). $$ Ahora, $u$ es finito si y sólo si $\sum\limits_{i=0}^{+\infty}2^{-i}t_i$ converge y $v$ es finito si y sólo si $\sum\limits_{i=0}^{+\infty}2^{-ip}t_i^2$. Para cada $p\ge2$, uno ve que $2^{-ip}t_i^2\le(2^{-i}t_i)^2$, e $\ell^1\subset\ell^2$, por lo tanto $u$ finito implica $v$ finito.