Anillo endormorfismo de cuaterniones isomorfo al anillo cuaternario

Question

He encontrado el citado pregunta en este post interesante: la Confusión respecto a qué tipo de isomorfismo es la intención. No tengo comentarios privilegios, y dado que la pregunta ya ha aceptado la respuesta y su propósito no era realmente recibir una respuesta a la citada pregunta, me he decidido a publicar aquí.

He sido capaz de hacer la primera parte, por medio del teorema de Maschke y mostrando que la existencia de una de las dos caras de la inversa para el mapa de proyección de $V$ a un submódulo formando parte de una descomposición de la $V$ conduce a una contradicción.

La segunda parte sin embargo, estoy perplejo, podría alguien la amabilidad de proporcionar alguna orientación?

Answer 1

Sugerencia:

Considerar el mapa de $\theta:\mathrm{End}_{\mathbb{R}Q}(\mathbb{H})\rightarrow \mathbb{H^{op}}$$\theta(f)=f(1)$.

Compruebe que este es un anillo de homomorphism en $\mathbb{H^{op}}$. El núcleo es, por tanto, un ideal de a $\mathrm{End}_{\mathbb{R}Q}(\mathbb{H})$.

Yo no puedo justificar que se críptico sobre el hecho de que $\mathbb{H}^{op}\cong\mathbb{H}$, así que tengo que dar a la basura :(

Componer que isomoprhism con $\theta$, ahora tenemos un homomorphism de $\mathrm{End}_{\mathbb{R}Q}(\mathbb{H})\rightarrow \mathbb{H}$, que está en. Sin embargo, el comentario al principio de la pregunta que enlaza muestra que $\mathrm{End}_{\mathbb{R}Q}(\mathbb{H})$ es un anillo de división, por lo que... (más consejos necesarios?)