Límite de$(1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2+x y^2}}$, ¿dónde lo consigo equivocado?

Question

Estoy encargado de la evaluación de $$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} (1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2+x y^2}}.$$

Podemos reescribir la expresión de la siguiente manera:

$$ e^{\ln(1+x^2+y^2)\cdot\frac{1}{x^2+y^2+x^2}} $$

Ahora, mi primera idea fue que esto tiende a $1$. Pero que aparentemente es incorrecto, se tiende hacia la $e$, de los cuales uno puede ver sólo por medio de gráficas. Eso es también lo que dice el libro.

Ahora, tenemos el "límite estándar":

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}x = 1$$

Así que puedo un poco a ver cómo podemos obtener el poder a tender hacia $1$ así obtenemos $e^1$, pero la expresión no es exactamente el mismo, tenemos $xy^2$ fijadas al final del denominador de la fracción. Además, $xy^2$ no tiene que ser positivo.

He intentado utilizar la sustitución de $x=\frac{1}{y^2}$, lo que nos da una expresión que tiende hacia el infinito, tanto en $0$ y el infinito y nunca es cero.

Nadie puede señalar a mí lo que me falta. Se siente como que debe ser super evidente.

Answer 1

Su reescritura es un paso en la dirección correcta. A continuación, utilice coordenadas polares. El límite se convierte en:$$\lim_{\rho \to 0} \exp\left(\frac{\ln(1 + \rho^2)}{\rho^2(1 + \rho\sin^2\theta\cos\theta)}\right)$ $

Utilizando el hecho de que$\ln(1 + t) \sim_0 t$, y que$\sin^2\theta\cos\theta$ está limitado, puede terminar fácilmente.

Answer 2

El lımite dado existe si y solo si el lımite $$ \ lim _ {(x, y) \ a (0,0)} \ frac {\ ln (1 x ^ 2 y ^ 2)} {x ^ 2 Y ^ 2 xy ^ 2} $$ existe. Pasar a coordenadas polares:$x=r\cos\varphi$,$y=r\sin\varphi$, por lo que el límite se convierte en $$ \ lim_ {r \ to0} \ frac {\ ln (1 r ^ 2)} {r ^ 2 (1 \ R \ n \ r \ n \ r \ n \ r \ n \ r \ n \ r \ n \ r \ n \ } {1 r \ cos \ varphi \ sin ^ 2 \ varphi} = 1 $$

Answer 3

$x^2+y^2=r^2 .$ $$|x|<a\implies |x y^2|\leq a y^2\leq a(x^2+y^2)=a r^2 .$ $ So let $Xy ^ 2 = r ^ 2 (1 b)$ where $ b \ $ as $X ^ 2 y ^ 2 xy ^ 2> 0$ Observe that this implies that $ r. $ for sufficiently small positive $ #% 1$ So, for all sufficiently small $ r \ a 0. $

Answer 4

Si escribimos$u = x^2+y^2,$ la expresión es igual a

ps

$$[(1+u)^{1/u}]^{u/(u+xy^2)} = [(1+u)^{1/u}]^{1/(1+(xy^2/u))} .$ La expresión dentro de los paréntesis$u\to 0,$ Es un argumento sencillo para mostrar$\to e.$ Por lo tanto, el exponente fuera de los corchetes$xy^2/u \to 0.$ y el límite deseado es$\to 1,$