Probar

Question

Cómo probar

ps

Donde$$\int\frac{12x\sin^{-1}x}{9x^4+6x^2+1}dx=-\frac{2\sin^{-1}x}{3x^2+1}+\tan^{-1}\left(\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}\right)+C$ y$\sin^{-1}x$ son inversas de las funciones trigonométricas. No sé cómo encontrar la integral debido a la inversa de las funciones trigonométricas. Me perdí calc clase dos veces. Por favor, ayúdame. Gracias.

Answer 1

$$\int \frac{12\sin^{-1} x}{(3x^2+1)^2}\,dx=\sin^{-1}x\int \frac{12x}{(3x^2+1)^2}\,dx -\int \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\int \frac{12x}{(3x^2+1)^2}\,dx\right)\,dx$ $ Para evaluar$\displaystyle \int \frac{12x}{(3x^2+1)^2}$, utilice la sustitución$3x^2+1=u \Rightarrow 6x\,dx=du$ para obtener:$\frac{-2}{3x^2+1}$, #% Para obtener:$$\int \frac{12\sin^{-1} x}{(3x^2+1)^2}\,dx=\frac{-2\sin^{-1}x}{3x^2+1}+2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}(3x^2+1)}\,dx$ $ Desde$x=\sin\theta \Rightarrow dx=\cos\theta d\,\theta$, es fácil ver que$$2\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}(3x^2+1)}\,dx=2\int \frac{1}{3\sin^2\theta+1}\,d\theta=2\int \frac{\sec^2\theta}{4\tan^2\theta+1}\,d\theta$, por lo tanto$$\Rightarrow 2\int \frac{\sec^2\theta}{4\tan^2\theta+1}\,d\theta=\tan^{-1}(2\tan\theta)+C$ $ Poniendo todo junto, la respuesta final Es%

Answer 2

Insinuación

Como se dijo en los comentarios, la integración por partes es la única manera de deshacerse de las funciones trigonométricas inversas.

Por lo tanto, deje que la respuesta que se le da a usted sugiere que la respuesta es la siguiente: $$u=\sin ^{-1}(x)$ $ $ $v'=\frac{12x}{9x^4+6x^2+1}=\frac{12x}{(3x^2+1)^2}$ Cambio de variable a utilizar.

Estoy seguro de que usted puede tomar de aquí.