Supongamos que $k$ es algebraicamente cerrado de campo. Entonces, ¿qué hacer el primer ideales en el polinomio anillo de $k[x,y]$?
Hasta donde yo sé, los máximos ideales de la $k[x,y]$ son de la forma $(x-a,y-b)$ donde $a,b\in k$. ¿Qué podemos decir sobre el primer ideales? Existen resultados similares? ¿Y qué acerca de $k[x,y,z], k[x,y,z,w]$ y así sucesivamente. Podría alguien ser tan amable de darme algunos consejos o referencia sobre este tema? Muchas gracias!
Para $k[x, y]$ esto no es tan malo como suena! El ahorro de la gracia aquí es que $k[x]$ es un PID.
La proposición: Vamos a $R$ ser un PID. El primer ideales de $R[y]$ son precisamente los ideales de la siguiente forma:
Este es un buen ejercicio. Si te quedas atascado, he demostrado en este blog. Los primos de el tercer tipo son máximas, por lo que al $R = k[x]$ que ya hemos mencionado (por la debilidad de la Nullstellensatz). El único nuevo primer ideales son los del segundo tipo; corresponden a irreductible subvariedades de dimensión $1$.
En general, yo no estoy seguro de lo que cuenta como una descripción razonable, y no sé lo suficiente de geometría algebraica a comentar.
El primer ideales de $k[x,y]$$0$, la máxima, y $(P)$ donde $P$ es cualquier polinomio irreducible. Esto es debido a que $k[x,y]$ tiene dimensión dos, y es un disco flash usb. Para más dimensiones de los anillos de las cosas son más complicadas, y no hay una respuesta explícita. Sin embargo, muchas cosas se puede decir, por ejemplo, sobre el número mínimo de generadores para el primer ideales. Buenas referencias Introducción al Álgebra Conmutativa (Atiyah-Macdonald), álgebra Conmutativa (Matsumura), álgebra Conmutativa, con miras a la geometría algebraica (Eisenbud). El último es el más completo y autónomo.
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