Resolver el Integral Definido$\int_0^{\infty} \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{a}{t}} \, \mathrm{erf}(\sqrt{t})\, \mathrm{d}t$

Question

Quisiera resolver la siguiente integral

ps

Con Re$$\int_0^{\infty} \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{a}{t}} \, \mathrm{erf}(\sqrt{t})\, \mathrm{d}t$ y erf la función de error. ¿Es posible dar una solución de forma cerrada para esta integral? Gracias.

Editar: tal vez esto ayuda a$(a)>0$ $$$\mathrm{L}(\mathrm{erf}(\sqrt{t}),s)=\frac{1}{s \, \sqrt{1+s}}$ $

Con L la transformada de Laplace.

Por lo tanto, debería ser$$\mathrm{L}^{-1}(t^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{a}{t}})=\frac{1}{\sqrt{\pi \, a}}\mathrm{sin}(2 \sqrt{a \, s})$ $

Answer 1

Representan el fer como parte integrante y el trabajo de una sustitución. Es decir, la integral es

$$\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^1 dv \, \int_0^{\infty} \frac{dt}{t} e^{-(a/t+v^2 t)} $$

Para evaluar el interior de la integral, se sub $y=a/t+v^2 t$. A continuación, el lector puede demostrar que

$$\int_0^{\infty} \frac{dt}{t} e^{-(a/t+v^2 t)} = 2 \int_{2 v \sqrt{a}}^{\infty} \frac{dy}{\sqrt{y^2-4 a v^2}} e^{-y}$$

La última integral es fácilmente evaluados usando el sub $y=2 v \sqrt{a} \cosh{w} $ y es igual a

$$2 \int_{2 v \sqrt{a}}^{\infty} \frac{dy}{\sqrt{y^2-4 a v^2}} e^{-y} = 2 \int_0^{\infty} dw \, e^{-2 v \sqrt{a} \cosh{w}} = 2 K_0 \left ( 2 v \sqrt{a} \right )$$

donde $K_0$ es la función Bessel modificada de segunda clase de orden cero. Ahora integramos esta expresión con respecto a $v$ y multiplicar por los factores fuera de la integral para obtener el resultado final:

$$\begin{align} \int_0^{\infty} dt \, t^{-3/2} e^{-a/t} \operatorname{erf}{\left ( \sqrt{t} \right )} &= \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_0^1 dv \, K_0 \left ( 2 v \sqrt{a} \right ) \\ &= 2 \sqrt{\pi} \left [K_0 \left ( 2 \sqrt{a} \right ) \mathbf{L}_{-1}\left ( 2 \sqrt{a} \right ) + K_1 \left ( 2 \sqrt{a} \right ) \mathbf{L}_{0}\left ( 2 \sqrt{a} \right ) \right ] \end{align}$$

donde $\mathbf{L}$ es un Struve función.

Answer 2

También puede seguir su enfoque de Laplace. Definir $$ I(\alpha)=\int_0^{\infty}\frac{\sin(2\alpha\sqrt{s})}{s\sqrt{1+s}}ds $$

ahora establezca $s=q^2$

$$ I(\alpha)=2\int_0^{\infty}\frac{\sin(2\alpha q)}{q\sqrt{1+q^2}}ds $$

Ahora se diferencian con respecto a $\alpha$

$$ I'(\alpha)=4\int_0^{\infty}\frac{\cos(2\alpha q)}{\sqrt{1+q^2}}ds $$

esta integral ahora furnishs una representación de la modificación de los Besselfunction $K_0(z)$

$$ I'(\alpha)=4 K_0(2\alpha ) $$

de acuerdo a 10.43.2 backintegrating w.r.t. a $\alpha$ rendimientos

$$ I(\alpha)=2\pi \alpha (K_0(2\alpha )L_{-1}(2\alpha )-K_1(2\alpha )L_{0}(2\alpha ))+C $$

donde $L_{\nu}(z)$ son modificados Struve función. La constante de integración $C$ se fija a cero por la condición de $I(0)=0$. Multiplicando con $1/\sqrt{\pi}\alpha$ se obtiene el resultado obtenido por @Ron Gordon

Answer 3

Meh, muy interesante integral! Me puede dar una aproximación heurística, pero creo que alguien va a hacer mejor. Estoy en el autobús y usted sabe, no es fácil.

Me gustaría utilizar la Serie de Taylor para $e^{-a/t}$, por lo tanto

$$\int_0^{+\infty}\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{\left(-a/t\right)^k}{k!}t^{-3/2}\ \text{Erf}(\sqrt{t})\ \text{d}t$$

Y llegamos

$$\sum_{k = 0}^{+\infty}\frac{(-a)^k}{k!}\int_0^{+\infty} t^{-k - 3/2}\ \text{Erf}(\sqrt{t})\ \text{d}t$$

Ahora bien, si llamamos a la simplicidad $b = -k - 3/2$ obtenemos una computable integral (he comprobado en Mathematica), que dice:

$$\int_0^{+\infty} t^{b}\ \text{Erf}(\sqrt{t})\ \text{d}t = -\frac{\Gamma[3/2 + b]}{(1 + b)\sqrt{\pi}} ~~~ \to ~~~ -\frac{\Gamma[-k]}{(-k - 1/2)\sqrt{\pi}}$$

PERO no es la condición a través de este resultado:

$$-\frac{3}{2} < \Re(b) < -1$$

Esto daría entonces

$$-\ \sum_{k = 0}^{+\infty}\frac{(-a)^k}{k!}\frac{\Gamma[-k]}{(-k - 1/2)\sqrt{\pi}}$$

Y aquí me paro porque yo no puedo ir (sobre todo porque no tengo papel y lápices conmigo.. me voy a revisar de nuevo cuando voy a estar en casa).