Preguntas sobre los ideales correctos

Question

La pregunta es desde el siguiente problema:

Deje $R$ ser un anillo con una identidad multiplicativa. Si $U$ es un subgrupo aditivo de $R$ tal que $ur\in U$ todos los $u\in U$, y para todos los $r\in R$, $U$ se dice que es un derecho ideal de $R$. Si $R$ tiene exactamente dos ideales, cuál de los siguientes debe ser verdad?

I. $R$ es conmutativa.
II. $R$ es un anillo de división.
III. $R$ es infinito.

Sé que la definición de cada concepto. Pero no tengo idea de lo que debe ser probado aquí.

• ¿Por qué el anillo de $R$ que tiene exactamente dos ideales especial?
• Lo que el teorema de qué se necesita para resolver el problema anterior?

Edit. De acuerdo a las respuestas, II debe ser verdadera. Para III, $R$ puede ser un campo finito de acuerdo a mt_. ¿Cuál es el contraejemplo para que yo haga?

Answer 1

El truco aquí es ver que $0$ $R$ siempre tienen la razón ideales. $R$ no es igual a cero, de lo contrario no sólo sería un ideal de derecho, por lo que cada ideal debe ser $0$ o $R$. Así que usted puede probar que todo elemento no nulo tiene inverso, ya que para $a\in R-\{0\}$ tenemos $aR = R$ es un derecho ideal, por lo que hay un $r\in R$$ar=1$.

Edit: es el equivalente de un anillo a tiene exactamente dos de los ideales y de un anillo de división. Puesto que existe finito y campos (sólo infinita no-conmutativa) de la división de los anillos, I y III son descartadas. El argumento de por qué una división anillo tiene exactamente dos ideal de derecho es la siguiente. (Repetir a partir de un comentario más abajo.) De nuevo $0$ $R$ son derecho ideales. Asumir que hay un ideal de derecho $I$ con un elemento no nulo $a$. Entonces no es $a'\in R$ $aa' =1$ (inversa), por tanto,$1 \in I$, por lo tanto $I=R$.

Answer 2

El concepto que hay que entender aquí es que si el anillo tiene EXACTAMENTE dos ideales, los ideales debe ser el trivial cero ideal y todo el anillo. Además, conozco a dos hechos:

1. Existe una división de anillo (es decir, un campo) que es finito (es decir,$\mathbb Z_3$, los enteros mod 3). Este es un campo finito (y por lo tanto una división de anillo). Por lo tanto, tenemos un anillo es un anillo conmutativo y es finito. Por lo que podemos satisfacer II y III

2. Existe división de anillos no conmutativos, pero infinito. El real cuaterniones son un ejemplo de este tipo de curso. Por lo que podemos satisfacer I y II

En total, hemos encontrado dos anillos que satisfacer dos de tres propiedades. Pero, lo más importante a destacar es que tanto 1 y 2 muestran que la I y III no son SIEMPRE satisfechos. Por lo que II es la única cosa segura.

Si usted quiere encontrar un anillo que satisface SÓLO II, usted podría estar buscando mucho tiempo. (Podría existir, pero no puedo pensar en un ejemplo). Pero, la búsqueda de dos anillos que satisfacen sólo dos de las tres propiedades (I, II, III) es posible. La única propiedad que estas tienen en común, sin embargo, es II. Por lo tanto B es la respuesta. Buena suerte pensando que fuera de 3 minutos en el examen, sin embargo.

Answer 3

La prueba de que$R$ con sólo dos ideales correctos y una identidad debe ser un anillo de división recibe sólo la mitad de la marca porque usted ha demostrado que cada elemento distinto de cero tiene una inversa derecha, no una inversa a dos caras.

Answer 4

Un anillo con exactamente dos ideales es especial, ya que cualquier ideal de derecho es igual a cero ideal o de todo el anillo. Por ejemplo, cualquier campo tiene esta propiedad (que le da un toque de III). II es la declaración de que es cierto: supongamos $R$ tiene exactamente dos ideales, y deje $0 \neq r \in R$, para mostrar $R$ es una división de anillo que usted debe probar $r$ tiene un inverso multiplicativo. Así que considere el derecho ideal generado por a $r$, escrito $rR = \{ rs: s \in R\}$. Este debe ser el cero ideal o la totalidad del anillo...