Malentendido de la prueba del pequeño teorema de Fermat

Question

Esto me ha estado molestando desde hace bastantes minutos, y no veo en qué falla mi pensamiento. En la demostración inductiva de este teorema, mientras se demuestra la afirmación, se utiliza el siguiente lema para llegar al punto final.

Para cualquier entero no negativo $x, y$ y primo $p$ que tenemos:

$$(x+ y)^p \equiv x^p +y ^p (\text{mod } p)$$

Mi pregunta es, ¿no se mantendría esta equivalencia independientemente de la primalidad de $p$ ¿probando así que el pequeño teorema de Fermat es válido también para los números que no son primos? ¿Qué me falta?

Answer 1

La equivalencia no es válida en general para los compuestos $n$ . Por ejemplo $$ (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\equiv x^4+2x^2y^2+y^4\mod 4$$ por lo que $(x+y)^4$ no es equivalente a $x^4+y^4$ mod $4$ si $x$ y $y$ son impar.

Answer 2

Observe que $$(x+y)^p \equiv x^p+y^p \pmod p$$

es verdadera cuando $$p\text{ }\bigg| \binom{p}{n} \text{ where } 0<n<p$$

Esto es cierto cuando $p$ es primo.

Para ver por qué, mira la siguiente expresión: $$\binom{p}{n}=\frac{p!}{n!(p-n)!}$$

En primer lugar, consideremos cuándo $p$ es primo. Ya sabemos que el numerador de la fracción es divisible por $p$ . La única manera de que $\binom{p}{n}$ no sería divisible por $p$ es si $n!(p-n)!$ era divisible por algún factor de $p$ (o $p$ mismo). Esto no es cierto ya que ambos $n$ y $n-p$ son menores que $p$ y también $p$ no tiene factores.

Cuando $p$ no es primo, la afirmación no es necesariamente verdadero, ya que el mismo argumento no se aplica.