$\sum_{n=1}^{\infty}f(z^n)$ Converge uniformemente con$f$ holomorphic

Question

Deje $f$ ser un holomorphic función en la unidad de la bola con $f(0)=0$. Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}f(z^n)$ es localmente uniformemente convergente en la unidad de la bola.

Mi prestar atención:

Es suficiente para probar que el $\sum_{n=1}^{\infty}f(z^n)$ converge uniformemente en cualquier $\overline{B_0(r)}$$r<1$.

$f'$ es también un holomorphic función, definida en un conjunto compacto y por lo tanto limitada. Vamos a decir $|f'|\leq M$. A continuación, para cada $z\in \overline{B_0(r)}$, $|f(z^n)-f(0)|\leq M|z^n-0|$, $|f(z^n)|\leq M|z^n| = M|z|^n \leq Mr^n$.

La serie $\sum_{n=1}^{\infty}r^n$ converge y, por tanto, por la M prueba de nuestra serie converge uniformemente. Es correcto?

Gracias.

Answer 1

¡Hagamos la fuerza bruta!

Si$f(z)=\sum_{n\geq1}a_nz^n$, entonces como una serie formal$$\sum_{k\geq1}f(z^k)=\sum_{n\geq1}\left(\sum_{d\mid n}a_d\right)z^n.$$ If $ f$ converges in the unit disc, we know from the Cauchy-Hadamard formula that $ \ limsup_ {a \ infty} | a_n | $, and we have to show that then $% #% $ Uno debe ser capaz de demostrar que

Si$\limsup\left|\sum_{d|n}a_d\right|^{1/n}\leq1.$ es una secuencia de números reales no negativos tales que$(x_n)_{n\geq1}$, entonces$\limsup_{n\to\infty}x_n^{1/n}\leq1$.

Y usando esto nuestro resultado sigue.

Answer 2

La respuesta es no porque$M$ depende de$r$ as$M:=\max \{|f'(z)|: z \in \overline{B_0(r)} \}.$