Cuál es la suma de $\sum\limits_{i=1}^{n}ip^i$?

Question

¿Cuál es la suma de$\sum\limits_{i=1}^{n}ip^i$ y tiene importancia, para n finito, si$|p|>1$ o$|p|<1$?

Edición:

¿Por qué puedo integrar tomar suma y luego tomar la derivada? Creo que ese tipo de truco no siempre se permite.

PD. He intentado este enfoque, pero he cometido errores al tomar derivados, por lo que he pedido, mayby ​​debo utilizar algún programa (o aplicación en línea) para el cálculo simbólico.

Answer 1

Empezar con $f(p)=\sum_{i=1}^n p^i=\frac {p(p^n-1)}{p-1}$

Su respuesta es$\ pf'(p)$ (calcular de ambas maneras ...)

Answer 2

$$\sum_{k=1}^n kp^k=\frac{p(np^{n+1}-(n+1)p^n+1)}{(p-1)^2}\tag{*}$$

Prueba por inducción:

1. $n=1$: $ p=\frac{p(p^{1+1}-(1+1)p^1+1)}{(p-1)^2}=\frac{p(p^{2}-2p+1)}{(p-1)^2}=p$
2. $$ \begin{eqnarray} (n+1)p^{n+1}+\sum_{k=1}^n kp^k&=&(n+1)p^{n+1} + \frac{p(np^{n+1}-(n+1)p^n+1)}{(p-1)^2}\\ &=&\frac{(n+1)p^{n+1}(p^2-2p+1)}{(p-1)^2} + \frac{p(np^{n+1}-(n+1)p^n+1)}{(p-1)^2}\\ &=&\frac{np^{n+3}+p^{n+3}-np^{n+2}-2p^{n+2}+p}{(p-1)^2}\\ &=&\frac{p((n+1)p^{n+2}-(n+1+1)p^{n+1}+1)}{(p-1)^2}\\ &=&\sum_{k=1}^{n+1} kp^k \end{eqnarray} $$

Si $p=1$, esperamos $\sum_{k=1}^n k\cdot 1^k= \frac12 n(n+1)$: Desde la RHS de $(*)$ da $\frac00$, cuando insertamos $p=1$, podemos aplicar la regla de L'Hospital de dos tiempos: $$ \lim_{p\1} \frac{p(np^{n+1}-(n+1)p^n+1)}{(p-1)^2} =\lim_{p\1} \frac{n(n+2)p^{n+1}-(n+1)^2^{n}+1}{2(p-1)}\\ =\frac12 \lim_{p\1} (n(n+1)(n+2)p^{n}-n(n+1)^2^{n-1})\\ =\frac12 n(n+1) \underbrace{\lim_{p\1} p^{n-1}((n+2)p(n+1))}_{=1}\\ $$ Si $n\to \infty$, la serie converge debido a la prueba de razón de ($\lim_{n\to \infty}\left|\frac{(k+1)}{k}p\right|<1$), al $|p|<1$. Usted obtendrá $$ \sum\limits_{k=1}^\infty pk^k = \frac p{(p-1)^2}+\underbrace{\lim_{n\to \infty} \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}}{(p-1)^2}}_{=0} = \frac p {(p-1)^2} $$

Answer 3

Aquí hay otra manera: $$ \begin{align*} \sum_{i=1}^n ip^i &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n p^j \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{p^{n+1}-p^i}{p-1} \\ &= n\frac{p^{n+1}}{p-1} - \frac{1}{p-1} \sum_{i=1}^n p^i \\ &= n\frac{p^{n+1}}{p-1} - \frac{p^{n+1}-1}{(p-1)^2}. \end {align *} $$

Answer 4

Me gusta el cálculo. Mi primera línea sería

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

(Escritura$ Q(p) + \sum\limits_{i=1}^{n}p^i = \sum\limits_{i=1}^{n}(i+1)p^i = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{d}{dp} p^{i+1} = \frac{d}{dp} \sum\limits_{i=1}^{n} p^{i+1} $ para su función$Q(p)$)

Ese era el viejo intercambio de la suma y el truco de diferenciación. Queda a la suma las series geométricas y la diferencian.

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Puesto que utilizamos el cálculo, podemos utilizar el mismo método también trabajará para el problema continuo$\sum\limits_{i=1}^{n}ip^i$