Hay algo detrás de la no-observables que conmutan?

Question

Considere la posibilidad de un sistema cuántico descrito por el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y considerar la posibilidad de $A,B\in \mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ a ser observables. Si los observables no conmutan no hay simultánea base de vectores propios de cada uno de ellos. En ese caso, en general si $|\varphi\rangle$ es autovector de a $A$ no será de $B$.

Esto nos lleva al problema de no tener un valor definido de una cierta cantidad en algunos estados.

Ahora, esto es sólo un modelo matemático. Funciona porque está de acuerdo con las observaciones. Pero me hace preguntarme sobre algo. Sobre las magnitudes Físicas asociadas a $A$ $B$ (si es un ejemplo que ayuda a considerar $A$ a ser la posición y $B$ el momento) lo que realmente está detrás de la no-conmutatividad?

¿Tenemos alguna idea acerca de por qué dos características observables de no ir a trabajar? ¿Hay alguna idea sobre alguna razón de fondo para que?

De nuevo yo sé que uno podría decir "no nos importa, porque la teoría está de acuerdo con la observación", pero realmente no puedo creer que haya ninguna razón de fondo para algunas magnitudes físicas sean compatibles, mientras que otros no lo son.

Creo que esto viene por el hecho de que una medida de una cantidad, afecta el sistema de alguna manera que interfiera con el resto de la cantidad, pero no sé cómo explicar esto.

EDIT: creo que es útil subrayar que no estoy diciendo que "no puedo aceptar que existen observables que no viajar". Este iba a entrar en la más larga discusión acerca de si la naturaleza es determinista o no, que no es lo que estoy tratando de hacer aquí.

Mi punto es: supongamos $A_1,A_2,B_1,B_2$ son observables y supongamos que $A_1$ $B_1$ conmutar mientras que $A_2$ $B_2$ no conmutan. Toda mi pregunta es: ¿sabemos hoy, de por qué las cantidades físicas $A_1$ $B_1$ son compatibles (puede ser al mismo tiempo se sabe) y por qué las cantidades $A_2$ $B_2$ no?

En otras palabras: la aceptación de que existen variables observables incompatibles, y le da un par de variables observables incompatibles sabemos en la actualidad, o al menos tener una conjetura acerca de por qué esas cantidades físicas son incompatibles?

Answer 1

Los Observables no conmutan si ellos no pueden ser simultáneamente diagonalized, es decir, si ellos no comparten un autovector. Si usted mira esta condición de la manera correcta, el resultado es el principio de incertidumbre se vuelve muy intuitivo.

Como un ejemplo, considere las dos dimensiones de espacio de Hilbert describir la polarización de un fotón que se mueve a lo largo de la $z$ eje. Su polarización es un vector en el $xy$ plano.

Deje $A$ es el operador que determina si un fotón polarizado a lo largo de la $x$ eje o $y$ eje, asignando un valor de 0 para la primera opción, y 1 para el segundo. Usted puede medir el $A$ mediante el uso de un simple filtro de polarización, y sus elementos de la matriz son $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ahora vamos a $B$ ser el operador que determina si un fotón es $+$ polarizada (es decir, polarizado suroeste/noreste) o $-$ polarizada (polarizado sureste/noroeste), la asignación de valores de 0 y 1, respectivamente. Entonces $$B = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}.$$

Los operadores de $A$ $B$ no conmutan, por lo que no pueden ser simultáneamente diagonalized y por lo tanto obedecen a un principio de incertidumbre. Y usted puede ver de inmediato por qué no pueden ser de la geometría: $A$ $B$ están eligiendo diferentes conjuntos de direcciones. Si usted tuvo un valor definido de $A$, usted tiene que ser $x$ o $y$ polarizada. Si usted tuvo un valor definido de $B$, tendría que ser $+$ o $-$ polarizada. Es imposible ser ambos a la vez.

O, si usted reformular las cosas en términos de los puntos cardinales, las preguntas "¿vas al norte o al este" y "se le va a noreste o sureste", no han simultánea bien definido respuestas. Esto no significa que las brújulas son incorrectos o incompletos, o que la observación de una brújula 'interfiere con orientación". Son sólo diferentes direcciones.

La posición y el impulso son exactamente de la misma manera. Una posición eigenstate es muy localizada, mientras que un impulso eigenstate ha infinita extensión espacial. Pensando en el espacio de Hilbert como un espacio vectorial, que simplemente están eligiendo diferentes direcciones. No hay ningún vector que es un autovector de ambos a la vez.

Answer 2

No observables que conmutan significa que lo que se llama la medición es capaz de cambiar el estado del sistema.

Por ejemplo, cuando hay dos objetos a y B que no viaje, no es un autovector de a que no es un autovector de B.

Cuando usted interactúa con Una luego a luego B los dos resultados de la interacción, siempre de acuerdo unos con otros. Eso significa que la interacción, siempre que lo deja en un estado especial, uno que da un resultado decisiva para la interacción (el mismo resultado que el primero dio).

Pero cuando el estado deja de ser un autovector de B (y algunos autovector de no ser eigen a la otra si no conmutan), a continuación, interactuando con Un B, entonces puede dar dos resultados diferentes para Una de las interacciones.

Esto demuestra que, en definitiva, la interacción con B no es un pasivo de revelar información preexistente, sino que es una interacción que puede cambiar el estado en cuestión.

Específicamente se puede cambiar el estado de uno que le da un particular fijo resultado de una interacción con Un en uno capaz de dar un resultado diferente para una interacción con A.

Answer 3

Usted puede hacer una conexión con el hecho de que el mismo estado físico de un arbitrario sistema físico que ocupa un volumen finito, puede ser especificada con sólo una cantidad finita de información. Si usted considera que algunos observables, a continuación, los autoestados puede ser degenerada, entonces usted necesita otro observables que conmutan con el primero en levantar esa degeneración, si continúa de esta manera usted finalmente va a terminar con un conjunto completo de observables que conmutan. Dado que sólo una cantidad finita de información es necesario especificar el estado del sistema, esto significa que este conjunto es finito. Entonces está garantizado que usted puede encontrar observables que no pertenecen a este conjunto.

En el límite clásico, todas las características observables de viaje. En este límite, el número de distinguible estados físicos por unidad de fase de fase tiende a infinito.

Answer 4

La mecánica clásica se puede expresar en forma analítica en términos de posición y "conjugado impulso", un término de la Lagrangiana de la mecánica. Esta pareja nos da el P, P variables de Hamiltoniana de la mecánica; cuando cualquier par es cuantificada usted encontrará que no conmutan. El quantum de conmutacion "hereda" este comportamiento de los clásicos de los corchetes de Poisson.

Así son algunos de los temas básicos de la física a su pregunta; el Lagrangiano en última instancia se deriva de las Leyes de Newton del Movimiento a través del Principio de la menor Acción, un principio variacional.

Answer 5

Usted dice que

Esto nos lleva al problema de no tener un valor definido de algunos la cantidad en algunos estados.

pero ¿qué tipo de problema es este? No es un problema de desacuerdo entre la teoría y el experimento. De hecho, como voy a llegar, es al revés! Si observables de viaje, no podemos construir teorías que de acuerdo con el experimento. Así que el problema aquí es que esto es una psicológicamente o filosóficamente cosa difícil de aceptar, pero esa es la manera que es y si no te gusta tienes que encontrar a otro universo donde las reglas son simples...

Bell desigualdades y GHZ experimentos puede argumentar para demostrar que realmente no hay nada detrás de la no-observables que conmutan. Una teoría construida en sólo observables que conmutan, simplemente, no puede dar la correcta predicción para los GHZ experimento, pero QM (muy fácilmente). Así que no observables que conmutan parecen ser una parte fundamental de la forma en que nuestro universo funciona.

Lo que te sugiero es "realmente" detrás de la mecánica cuántica tiene que hacer la misma predicción de la mecánica cuántica acerca de los resultados de una Campana o GHZ experimento, porque hemos hecho los experimentos y encontrar el resultado predicho por QM. Esto descarta que si hay algo detrás de la mecánica cuántica, con todas sus características observables de viaje.

El universo se ve mecánica cuántica porque es la mecánica cuántica.

(Hay una laguna en la anterior: nos podría permitir una mayor rapidez de la luz en señales y, a continuación, podría ser variables ocultas. Pero eso es realmente preocupante para los físicos en el sentido de que no observables que conmutan no lo es, porque si vamos a permitir más rápidas que la luz de la comunicación debemos, según Einstein, permitir que las condiciones en el futuro a afectar lo que sucede en el presente. Eso significa que no puedo confiar en mis experimentos más porque alguien desde el futuro podría estar interfiriendo con ellos. No observables que conmutan significa que tenemos que aceptar sólo la predicción de probabilidades en experimentos, pero que es mucho mejor que tirar todos los experimentos debido a su rival desde el futuro podría estar saboteando ellos.)