¿Por qué SO (3) no$S^1 \times S^2$? (¿Dónde está el error?)

Question

Yo estaba tratando de calcular el grupo fundamental de SO(3). Con el fin de representar al grupo razonaba de la siguiente manera:

Con el fin de construir el 3X3 ortogonal de la matriz necesito un ortonormales base positiva. Así que creo que el primer vector $v_1$$S^2$, que corresponde a la primera columna de la matriz o a la imagen de $e_1$. Entonces, tengo que elegir otro vector en el ámbito ortogonal a este, en otras palabras, tengo que tomar un vector en el círculo plano normal de $v_1$. El tercer vector está dado por la conservación de la orientación.

Así que he elegido un vector en $S^2$, entonces un vector en $S^1$, libremente. Por lo que debe tener $SO(3)=S^2 \times S^1$. Pero, por supuesto, este no es el caso.

Me registré en wikipedia construcción de SO(3) ( http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_group_SO%283%29#Topology ) y tiene sentido, pero no puedo encontrar la falla en el razonamiento previo.

Gracias de antemano.

Answer 1

El comienzo de su argumento es correcto. El primer vector $v = v_1$ de un tres por tres ortogonal de la matriz es de hecho un punto de $S^2$, y cada punto de $S^2$ surge de esta manera. También es cierto que el conjunto de vectores perpendiculares a $v$, se $P(v)$, es homeomórficos a $S^1$.

Sin embargo, después de que su razonamiento se rompe. Mientras que $P(v)$ es homeomórficos a un círculo, no es canónica de la elección de un homeomorphism. Incluso no hay forma continua (dependiendo $v$) para hacer esa elección.

Para, supongamos que no fue una elección continua. Deje $f_v \colon\, S^1 \to P(v)$ denotar la familia resultante de homeomorphisms. Fix $1 \in S^1 \subset \mathbb{C}$. Definir $X \colon\, S^2 \to S^2$$X(v) = f_v(1)$. Ahora tenga en cuenta que $P(v)$ es canónicamente identificado con $T_v^1 S^2$, los vectores tangente a $S^2$, basado en el $v$, de la unidad de longitud. Por lo tanto $X$ da un no-desaparición de la unidad de vector tangente campo en $S^2$. Esto se contradice con la peluda bola teorema.

Dicho de otra manera, el círculo tiene demasiados auto-homeomorphisms. Por otro, más simple ejemplo, tenemos el intervalo, con sus dos, esencialmente diferente de la auto-homeomorphisms. El primero es el mapa de identidad y el segundo es el de la reflexión sobre el punto de $1/2$. El uso de estos espacios nos da el anillo y la banda de Möbius.