Determinación de una carga a través de subconjuntos

Question

Una carga es una función de conjunto finitamente aditiva$c: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0, 1]$ tal que$c(\mathbb{N}) = 1$ y$c(\{n\}) = 0$ para cada$n \in N$. Aquí$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ es el conjunto de todos los subconjuntos de$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.

Pregunta: ¿Existe un cargo$c$ tal que para cualquier familia$\mathcal{F}$ de tamaño menor que el$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ existe otro cargo$d$ tal que mientras$c, d$ Están de acuerdo en$F$, no están de acuerdo en$\mathcal{P}(\mathbb{N})$?

Sólo puedo mostrar que tal$d$ existe para cada$c$ si$\mathcal{F}$ es contable.

¡Gracias!

Answer 1

En esta respuesta me mostró cómo construir una familia independiente $\mathscr{I}$ de los subconjuntos de a $\Bbb N$ de cardinalidad $2^\omega=\mathfrak{c}$. Es decir, $\mathscr{I}$ tiene la propiedad de que

$$\bigcap_{A\in\mathscr{J}}A\cap\bigcap_{A\in\mathscr{K}}(X\setminus A)\ne\varnothing$$

siempre que $\mathscr{J}$ $\mathscr{K}$ son distintos subconjuntos finitos de $\mathscr{I}$. Vamos

$$\mathscr{B}=\mathscr{I}\cup\left\{\Bbb N\setminus\bigcap\mathscr{A}:\mathscr{A}\subseteq\mathscr{I}\text{ and }\mathscr{A}\text{ is infinite}\right\}\;;$$

$\mathscr{B}$ tiene el fuerte finito intersección de la propiedad, por lo que puede ser extendido a un ultrafilter $\mathscr{U}$$\Bbb N$. Supongamos que $\mathscr{C}$ es una base para $\mathscr{U}$ de cardinalidad menor que $2^\omega$. $\mathscr{I}\subseteq\mathscr{U}$, así, para cada $I\in\mathscr{I}$ hay algo de $C_I\in\mathscr{C}$ tal que $C_I\subseteq I$, e $|\mathscr{C}|<|\mathscr{I}|$, por lo que hay un $C\in\mathscr{C}$ tal que $\{I\in\mathscr{I}:C_I=C\}$ es infinito. Deje $A=\bigcap\{I\in\mathscr{I}:C_I=C\}$; a continuación,$C\subseteq A$, lo $A\in\mathscr{U}$. Pero $\Bbb N\setminus A\in\mathscr{B}\subseteq\mathscr{U}$, lo cual es imposible. Por lo tanto, $\mathscr{U}$ no tiene ninguna base de cardinalidad menor que $2^\omega$. (La existencia de una ultrafilter es debido a Pospíšil.)

Deje $\mathscr{U}$ ser un ultrafilter en $\Bbb N$ no tener base de cardinalidad menor que $2^\omega$, y definir

$$c:\wp(\Bbb N)\a\{0,1\}:\mapsto\begin{cases} 1,&\text{if }A\in\mathscr{U}\\ 0,&\text{if }A\notin\mathscr{U}\;; \end{casos}$$

evidentemente $c$ es una carga. Suponga que $\mathscr{F}\subseteq\wp(\Bbb N)$, e $|\mathscr{F}|\lt 2^\omega$, y vamos a

$$\mathscr{B}_0=(\mathscr{F}\cap\mathscr{U})\cup\{\Bbb N\setminus F:F\in\mathscr{F}\setminus\mathscr{U}\}\subseteq\mathscr{U}\;.$$

Deje $\mathscr{B}$ es el cierre de $\mathscr{B}_0$ por debajo de lo finito intersecciones; $|\mathscr{B}_0|<2^\omega$, lo $|\mathscr{B}|<2^\omega$, e $\mathscr{B}$ no es por tanto una base para $\mathscr{U}$. Por lo tanto, hay un $U\in\mathscr{U}$ que no contiene ningún elemento de $\mathscr{B}$. De ello se desprende que $B\cap(\Bbb N\setminus U)\ne\varnothing$ por cada $B\in\mathscr{B}$ y que, por ende, $\{\Bbb N\setminus U\}\cup\mathscr{B}$ puede ser extendido a un ultrafilter $\mathscr{V}$$\Bbb N$.

Definir la carga

$$d:\wp(\Bbb N)\a\{0,1\}:\mapsto\begin{cases} 1,&\text{if }A\in\mathscr{V}\\ 0,&\text{if }A\notin\mathscr{V}\;. \end{casos}$$

La construcción se asegura de que para cada una de las $F\in\mathscr{F}$ tenemos $F\in\mathscr{V}$ fib $F\in\mathscr{U}$, lo $d\upharpoonright\mathscr{F}=c\upharpoonright\mathscr{F}$. Sin embargo, $c(U)=1\ne 0=d(U)$, lo $c\ne d$.

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Yo nunca he ido a través de los detalles, pero de acuerdo con el Ejercicio de Una$10$ en el Capítulo VIII de Ken Kunen de la Teoría de conjuntos: Una Introducción a la Independencia de las Pruebas (Norte de Holanda, $1980$), es coherente que no hay un ultrafilter en $\Bbb N$ con una base de cardinalidad $\omega_1<2^\omega$. Si tomamos $\mathscr{U}$ a ser una ultrafilter y $\mathscr{F}$ una base para $\mathscr{U}$ de cardinalidad $\omega_1$, la carga de la $c$ se define como el anterior de $\mathscr{U}$ no puede ser extendida a cualquier otro cargo de acuerdo con $c$$\mathscr{F}$.

Answer 2

Algunas de las observaciones seguir. Todos ellos aparecen en Blass manual de capítulo.

El siguiente es independiente de más de ZFC + $\neg$CH: existe un cargo $m$ tal que $m$ está determinada por sus valores en un conjunto de tamaño de menos de continuo.

Consistencia: Brian señaló Kunen del modelo en el que $2^{\omega} = \aleph_{\omega_1}$ y hay un ultrafilter base de tamaño de $\omega_1$. Baumgartner y Lavamanos mostró que en la iteración Sacos de modelo (por lo $2^{\omega} = \omega_2$ aquí) cada Ramsey ultrafilter en el modelo de terreno es un ultrafilter base en la extensión genérica.

Falta constante: En el modelo de Cohen para $\neg$CH ($2^{\omega} = \omega_2$ aquí) no carga está determinada por sus valores en un conjunto de tamaño $\omega_1$.