Empecemos por representar la suma $S$ utilizando la definición de la función de autocorrelación:
\begin {Ecuación} S = \sum_ {h=1}^{n-1} \hat { \rho }(h) = \sum_ {h=1}^{n-1} \left ( \frac { \frac {1}{n} \sum_ {t=1}^{n-h}(X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}{ \frac {1}{n} \sum_ {t=1}^{n}(X_t- \bar {X})^2} \right ) \end {Ecuación}
El denominador no depende de $h$ por lo que podemos simplificar y mover el frente $\sum$ al numerador, lo que nos da: \begin {Ecuación} S = \frac { \sum_ {h=1}^{n-1} \sum_ {t=1}^{n-h} (X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}{ \sum_ {t=1}^{n} (X_t- \bar {X})^2} \end {Ecuación}
Ahora consideremos el denominador. ¿Cómo lo representamos para obtener una expresión similar a la del numerador? Establece $Y_t=X_t-\bar{X}$ . Entonces $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0.$ El denominador aquí es $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2}$ . Sabemos que $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ es decir, restando todos los pares únicos $\times$ 2. Porque $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0$ se deduce que $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ .
Volviendo a introducir los términos de X, el denominador se convierte en $- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})$ . Entonces,
\begin {ecuación} S= \frac { \sum_ {h=1}^{n-1} \sum_ {t=1}^{n-h}(X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}{- 2 \sum_ {h=1}^{n-1} \sum_ {t=1}^{n-h}(X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}= - \frac {1}{2} \end {Ecuación}
Espero que esto ayude.
