No consigo entender esta propiedad de las series estacionarias y la función de autocorrelación. Tengo que demostrar que
\begin {align} \sum_ {h=1}^{n-1} \hat\rho (h)=- \frac {1}{2} \end {align}
Dónde ˆρ(h)=ˆγ(h)ˆγ(0) y ˆγ(h) es la función de autocovarianza
\begin {align} \hat\gamma (h) = \frac {1}{n} \sum_ {t=1}^{n-h}(X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X}) \end {align}
Espero que alguien pueda ayudarme con una prueba, o al menos indicarme la dirección correcta.
Empecemos por representar la suma S utilizando la definición de la función de autocorrelación:
\begin {Ecuación} S = \sum_ {h=1}^{n-1} \hat { \rho }(h) = \sum_ {h=1}^{n-1} \left ( \frac { \frac {1}{n} \sum_ {t=1}^{n-h}(X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}{ \frac {1}{n} \sum_ {t=1}^{n}(X_t- \bar {X})^2} \right ) \end {Ecuación}
El denominador no depende de h por lo que podemos simplificar y mover el frente ∑ al numerador, lo que nos da: \begin {Ecuación} S = \frac { \sum_ {h=1}^{n-1} \sum_ {t=1}^{n-h} (X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}{ \sum_ {t=1}^{n} (X_t- \bar {X})^2} \end {Ecuación}
Ahora consideremos el denominador. ¿Cómo lo representamos para obtener una expresión similar a la del numerador? Establece Yt=Xt−ˉX . Entonces ∑nt=1Yt=0. El denominador aquí es ∑nt=1Y2t . Sabemos que ∑nt=1Y2t=(∑nt=1Yt)2−2∑n−1h=1∑n−ht=1YtYt+h es decir, restando todos los pares únicos × 2. Porque ∑nt=1Yt=0 se deduce que ∑nt=1Y2t=−2∑n−1h=1∑n−ht=1YtYt+h .
Volviendo a introducir los términos de X, el denominador se convierte en −2∑n−1h=1∑n−ht=1(Xt−ˉX)(Xt+h−ˉX) . Entonces,
\begin {ecuación} S= \frac { \sum_ {h=1}^{n-1} \sum_ {t=1}^{n-h}(X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}{- 2 \sum_ {h=1}^{n-1} \sum_ {t=1}^{n-h}(X_t- \bar {X})(X_{t+h}- \bar {X})}= - \frac {1}{2} \end {Ecuación}
Espero que esto ayude.
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