Límite de$c-b$ para$a^n+b^n=c^n$

Question

Sea$a\leq b\leq c$ números reales positivos y$n$ entero positivo con$a^n+b^n=c^n$. Pruebalo $c-b\leq(\sqrt[n]{2}-1)a$.

La desigualdad deseada se puede escribir como$c-b+a\leq \sqrt[n]{2}a$. Aumentando a la potencia de$n$, esto es$(c-b+a)^n\leq 2a^n$. Si fuera cierto que$(c-b+a)^n\leq c^n-b^n+a^n$ estaríamos hechos, ya que este último es sólo$2a^n$.

Answer 1

Fijar$a$. Por convexidad de$f(x) = x^n$ on$\mathbb{R}_+$, un aumento en$b$ conduce a un menor aumento en$c$. Por lo tanto, la diferencia$c-b$ se maximiza cuando$a=b$. La desigualdad sigue.