Función de generación de números de Lah

Question

Sea$L(n,k)\!\in\!\mathbb{N}_0$ los números de Lah. Sabemos que satisfacen$$L(n,k)=L(n\!-\!1,k\!-\!1)+(n\!+\!k\!-\!1)L(n\!-\!1,k)$ $ para todos$n,k\!\in\!\mathbb{Z}$. ¿Cómo puedo probar$$\sum_nL(n,k)\frac{x^n}{n!}=\frac{1}{k!}\Big(\frac{x}{1-x}\Big)^k$ $ sin usar la fórmula explícita$L(n,k)\!=\!\frac{n!}{k!}\binom{n-1}{k-1}$?

Intento 1: $\text{LHS}=\sum_nL(n\!-\!1,k\!-\!1)\frac{x^n}{n!}+\sum_n(n\!+\!k\!-\!1)L(n\!-\!1,k)\frac{x^n}{n!}\overset{i.h.}{=}?$

Intento 2: $\text{RHS}\overset{i.h.}{=}$$\frac{1}{k}\frac{x}{1-x}\sum_nL(n,k\!-\!1)\frac{x^n}{n!}=$

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Answer 1

Tenemos -$$(1-x)f_k(x)=\sum_{j\in \Bbb Z}L(j,k-1)\frac{x^{j+1}}{(j+1)!}+(k-1)\sum_{j\in \Bbb Z}L(j,k)\frac{x^{j+1}}{(j+1)!}.$ $ Ahora tomamos los derivados para obtener$$-f_k(x)+(1-x)f'_k(x)=f_{k-1}(x)+(k-1)f_k(x)$ $ then$$(1-x)f'_k(x)-kf_k(x)=f_{k-1}(x).$ $ Multiplicando por$(1-x)^{k-1}$ y usando la fórmula para$f_{k-1}$ Get$$(1-x)^kf'_k(x)-k(1-x)^{k-1}f_k(x)=\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$ $ Integrating, obtenemos el resultado deseado hasta otro término (a saber,$$((1-x)^kf_k(x))'=\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}.$) pero debe desaparecer usando el valor en$C(1-x)^k$ % Y la definición inicial de los números de Lah.