¿Cuál es la topología generada por el sistema de vecindarios $V(x)=\{\{x\}\}$

Question

Mi pregunta es la siguiente:

¿Cuál es la topología generada por el sistema de vecindades $V(x)=\{\{x\}\}$?

Digo que es la topología gruesa, pero no sé cuál es el mecanismo para generar una topología a partir de una base

Lo siento si esto es tan trivial pero siempre tengo esta duda

gracias

Answer 1

Por definición, un conjunto $U$ es abierto si y solo si para cada $x\in U$, existe un vecindario $B_x\in V(x)$ tal que $B_x\subset U$. En particular, $V(x)\ni\{x\}\subseteq\{x\}$.. Deberías reconocer que esta es una topología estándar en un conjunto después de reflexionar un poco.

Answer 2

Digamos que tu conjunto subyacente para el cual defines un sistema de vecindad de sus elementos se llama $X$. Un sistema de vecindad es la colección de todas las vecindades de un punto $x$. Por lo tanto, la única vecindad abierta de $x$ es $\{x\}$. Un conjunto $U$ es abierto si y solo si para cada $x \in U$ existe un elemento de base $B$ contenido en $U$ tal que $x\in B$. Por lo tanto, es fácil ver que los elementos de base son de la forma $\{x\}$ tal que $x\in X$. Por lo tanto, una base para esta topología es: $\mathcal{B} = \{\{x\}\mid x \in X\}$. Pero asumiendo que hay dos puntos distintos $x,y\in X$, $\{x\}\cup \{y\}$ es abierto por definición. Por lo tanto $\{x,y\} \in V(y)$, una contradicción. Concluye que no hay dos puntos distintos en $X$ y que este sistema de vecindad define la topología trivial en un conjunto $X$ con $1$ o menos elementos.