La distribución uniforme en un intervalo acotado de $[a,b]$ tiene variación $(b-a)^2/12$. Considerar cualquier distribución cóncava en el intervalo mismo (cóncava en el sentido de que el gráfico del pdf se encuentra por encima de cualquier segmento de recta que une dos puntos de la gráfica). Satisface su % de varianza $\sigma^2$:
$$\sigma^2 \le \frac{(b-a)^2}{12}?$$
Sí, esto es cierto.
En primer lugar, tenga en cuenta que cualquier cóncava PDF debe ser unimodal. (Esto es elemental, con la consecuencia de la concavidad.)
La respuesta a una pregunta relacionada con la muestra que en el intervalo de $[0,1]$, la varianza de una distribución con media de $\mu$ no puede exceder $\mu(2-3\mu)/3$ (al $0 \le \mu \le 1/2$) o $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ (al $1/2\le \mu \le 1$). Ninguna de estas expresiones supera $1/12$ (lo cual se logra únicamente cuando $\mu=1/2$.
Por el cambio y reescalando el intervalo de $[0,1]$$[a,b]$, sigue inmediatamente que $\sigma^2$ no puede exceder $(b-a)^2/12$, QED.
Evidentemente una declaración más fuerte puede ser hecho cuando la media de $\mu$ es conocido: un estrecho límite superior es entonces
$$\sigma^2 \le \frac{(\mu-a)(2b+a-3\mu)}{3}$$
al $\mu \le (a+b)/2$. Para $\mu \gt (a+b)/2$, interruptor de $a$ $b$ y reemplace$\mu$$b-\mu$.
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