Distribución de la suma de dos independiente normales a uno de ellos

Question

Suponga $X$ $Y$ son iid $N(0,1)$. Estoy buscando una "limpia" de la expresión para $$ P\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}>c\,\Biggl|\,X<c\right). $$ Relacionados con la cuestión parece ser discutido aquí o aquí, pero si ya de dar la respuesta a mi pregunta, yo no lo veo.

Simulación sugiere que es alrededor del 3% para $c$ el 95% de lo normal cuantil:

c <- qnorm(0.95)
cprob.num <- rep(NA,50000)

for (i in 1:reps){
  X <- rnorm(1)
  Y <- rnorm(1)
  cprob.num[i] <- (X+Y)/sqrt(2) > c & X<c
}

mean(cprob.num)/0.95 # 0.03117895

Answer 1

Dado: $X$ $Y$ son independientes estándar Normales con pdf's $\phi(.)$ y cdf $\Phi(.)$.

Desde $X$ $Y$ son independientes, la articulación pdf de $\big((X \; \big|\;X<c), \; Y\big)$$f(x,y) = {\large\frac{\phi(x)}{\Phi(c)}} \phi(y)$:

donde Erf[.] denota la función de error.

Parte 1: El pdf de $Z = X+Y \; | \; X<c$

Dado $f(x,y)$, considere la posibilidad de la transformación de $(Z = X+Y, V=Y)$.

Si $X <c$$Z = X+Y$,$Z < c + Y$. Es decir, $Z < c + V$. Esta dependencia se invoca en la siguiente línea por medio de la Boole declaración. A continuación, el conjunto pdf de $(Z,V)$, decir $g(z,v)$ puede obtenerse con:

... donde yo estoy usando el Transform función de mathStatica/Mathematica para automatizar la nitty-gritties utilizando el Método de las Transformaciones (Jacobiana etc).

El pdf de $Z$ que buscamos es simplemente el marginal pdf de $Z$:

... que es la forma cerrada de la solución.

En el siguiente diagrama se traza el pdf de $Z$ (es decir, la suma de 2 independientes Normales, con la condición de que uno de ellos) para seis diferentes valores del parámetro de $c$:

---

Parte 2: Encontrar $P\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}>c\,\Biggl|\,X<c\right)$

Para encontrar $P\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}>c\,\Biggl|\,X<c\right)$, integrar la anterior pdfZ $(\sqrt2 c, \infty)$ wrt $z$.

Alternativamente, $P\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}>c\,\Biggl|\,X<c\right)$ puede ser obtenida directamente desde el primer paso por :

... donde yo estoy usando el Prob función de mathStatica/Mathematica para automatizar la nitty-gritties. Esta solución se puede escribir en notación convencional como:

$$\frac{1}{\Phi(c)} \quad \int_{-\infty}^c \phi(x) \; \Phi \left(x-\sqrt{2} c\right) \, dx$$

While the probability does not appear to have a convenient closed-form, it is nevertheless a useful and practical result that is reduced to integrating a single variable. In particular:

a) when $c = 0$, the solution simplifies to $\frac14$

b) for other $c$ values, replace Integrate with NIntegrate for a solution via numerical integration in a single variable, which works very nicely. For instance, here is a plot of the desired probability, as a function of the truncation point $c$:

Answer 2

Lo siento por no entregar los detalles, pero $$ \int_{-\infty}^c \phi(x) \; \Phi(x-\sqrt{2} c) \, dx = 2T(c, \sqrt{2}-1) $$ donde $T$ es el Owen $T$-función.

Esta función está disponible en Mathematica/Wolfram y en el paquete de R OwenQ.

library(OwenQ)
pr <- function(c){
  2*OwenT(c, sqrt(2)-1) / pnorm(c)
}
curve(Vectorize(pr)(x), from=-6, to=6)

Alternativamente, usted puede obtener el Owen $T$-función con la ayuda de la cdf de la noncentral Estudiante de distribución:

owenT <- function(h, a) 1/2*(pt(a, 1, h*sqrt(1+a^2)) - pnorm(-h))

Pero esta aplicación no es confiable para grandes valores de la noncentrality parámetro h*sqrt(1+a^2).