¿Cómo encontrar el límite de $\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$? como x acercamientos 0

Question

Cómo encontrar el límite de $\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$? a medida que x se aproxima a 0

Yo pensé que esto iba a ser un simple problema, pero luego se volvió más complicado de lo que yo esperaba

Así que primero se multiplica la expresión con su conjugado en tanto que el denominador y el numerador el conjugado fue el siguiente:

$$\sqrt{x^2+9}+3$$

pero cuando se multiplica por el conjugado yo de hecho ni siquiera acercarse a la respuesta, porque la respuesta iba a ser $\frac{1}{6}$

en lugar de eso he conseguido el siguiente multiplicando por su conjugado

$\frac{x^2+9-9}{x^2\sqrt{x^2+9}-3x^2}$ , lo que, obviamente, no volver 1/6

Me preguntaba si yo era simplemente un error o si tengo que elegir una opción diferente en la solución de este?

Answer 1

Quizás cometió un ligero error al saltar de una etapa a la siguiente. He escondido el trabajo, y trató de lo mejor de mi para ocultar la solución. Por alguna razón, usted no puede ocultar un bloque de texto y la sangría $\LaTeX$. Si usted está atascado, sólo tiene que colocar el ratón sobre las pestañas amarillas y el trabajo debe mostrar.

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Multiplicando por el conjugado es la cosa correcta a hacer! Vamos a multiplicar la fracción por $\sqrt{x^2+9}+3$. Por lo tanto

$$\lim\limits_{x\to0}\frac {\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac {(\sqrt{x^2+9}-3)(\sqrt{x^2+9}+3)}{x^2(\sqrt{x^2+9}+3)}=\lim\limits_{x\to0}\frac {x^2+9-9}{x^2(\sqrt{x^2+9}+3)}$$

El numerador se reduzca a $x^2$, y vemos que tanto $x^2$ términos se cancelan uno al otro. Se puede terminar con el resto?

$$\lim\limits_{x\to0}\frac {1}{\sqrt{x^2+9}+3}=\frac 1{\sqrt9+3}=\frac 16$$

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Edit: El OP ha proporcionado su trabajo sobre el problema. El denominador es la realidad, se supone que $3x^2$ e no $-3x^2$ porque estamos multiplicando por el conjugado: $\sqrt{x^2+9}+3$.

Answer 2

$f (x)=\sqrt {x+9} $, El límite es

$$\lim_0\frac {f (x)-f (0)}{x}=f'(0) $$

y $$f'(x)=\frac {1}{2f (x)} $ $

así $$f'(0)=1/6$ $

Answer 3

Nota:\begin{align*} \frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2} = & \; \frac{\big(\sqrt{x^2+9}-3 \big) \big(\sqrt{x^2+9}+3 \big)}{x^2 \big( \sqrt{x^2+9}+3 \big)} \\ = & \; \frac{x^2+9-3^2}{x^2\big(\sqrt{x^2+9}+3 \big)} \\ = & \; \frac{1}{\sqrt{x^2+9} + 3}. \end{align*} por lo que tenemos\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^2+9} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}. \end{align*} creo que cometiste un error cuando usted multiplica el conjugado.

Answer 4

Que $f(t) = \sqrt{t}$. \begin{align*} \text{Then}\;\;f'(9)&=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{9+h}-\sqrt{9}}{h}\\[4pt] &=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{\sqrt{9+h}-\sqrt{9}}{h}\\[4pt] &=\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{9+x^2}-3}{x^2}\\[4pt] \end{align*}

Answer 5

Ya que el numerador y el denominador a 0, es indefinido. Te sugiero usar regla de L'hospitals, que establece que si hay una forma indeterminada $\frac{0}{0}$ puede diferenciar el numerador y el denominador y tomar el límite del resultado. Aquí tenemos $\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$. Una vez que diferenciar el numerador y el denominador y simplificar obtenemos $\frac{1}{2\sqrt{x^2+9}}$. Si tomamos el límite como $x$ va a $0$, conseguir que el límite es igual a $\frac{1}{6}$.