Qué 1 número lo saque $(1!)(2!)..(99!)(100!)$ para conseguir un perfecto sqaure

Question

El título lo dice todo, hay un producto, como se muestra arriba, uno de los factoriales debe eliminarse y el producto hará un cuadrado perfecto. ¿Cuál? -Gracias

Por ejemplo, usted podría quitar $(54!)$

Answer 1

Agruparlos como $$ $$\begin{align*}(1!2!)(3!4!)\cdots (99!100!) &= (1!^2\times 2)(3!^2 \times 4)\cdots (99!^2\times 100) \\&= (1!3!\cdots 99!)^2 \times 2\cdot 4\cdot 6\cdots 100 \\ & = (1!3!\cdots99!)^2\times 2^{50} \times 50! \end{align*}$$

así que usted puede quitar $50!$ y es un cuadrado.

Answer 2

Sugerencia. Muestran que el número para quitar $50!$ (nota que $50$ es la mitad de $100$).

P.d.: Más generalmente, si $m$ es un entero positivo entonces $$N:=\prod_{j=1}^{4m}(j!)=\prod_{k=1}^{2m}\left[(2k-1)!(2k)!\right]=\left(2^m\prod_{k=1}^{2m}(2k-1)!\right)^2\cdot (2m)!, lo que implica que el $N/(2m)!$ es un cuadrado perfecto.

Answer 3

Lo que tienes que hacer es llevar un registro de ocurrencias no balanceadas de factores primeros. Desde $(2n)!=(2n-1)!(2n)$, cada par de estos factores consecutivos $((2n-1)!, \ (2n)!)$ aporta lo mismo que un solo factor $2n$ el desequilibrio de factores primeros. Ya que podemos emparejar para arriba todos factoriales de $100$ $50$ dichos pares, el desequilibrio es igual a la del producto $2\times 4\times\cdots\times 98\times 100$, que el producto es igual a $2^{50}50!$. $2^{50}$ Es un cuadrado perfecto, puede quitar todo desequilibrio quitando el factor $50!$ del producto.

Answer 4

Aquí es un método tabular. Hacer la tabla:

Nota que en las columnas hasta que el grado es (por ejemplo, $3^{98}$). De las columnas impares nos llevar por un número y recoger para obtener $2\cdot4\cdots100=2^{50}\cdot50!$. Por lo tanto debe eliminarse $50!$ para hacer el producto de un cuadrado.

Answer 5

En primer lugar, puede escribir cada $(n!)$ $(n-1)!\cdot n$.

Sin embargo, por ahora, sólo esto para todos los valores impares de $n$ y obtener

$$(2!)(2!)\cdot 3 \cdot(4!)(4!)\cdot 5\cdots (98!)(98!)\cdot 99\cdot 100!$$

$(2!)(4!)\cdots (98!)=C$ Simplificar la palabra y su expresión es igual a

$$C^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots 99\cdot (100!)$$

Escriba $100!$ y que es igual a

$$C^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots 99\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdots 100$$

Ordenar para obtener

$$C\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7 \cdot 7\cdots 99\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdots 100$$

Ahora la palabra $3\cdot 5\cdot 7\cdots 99=D$ y que es igual a

$$C^2D^2 2\cdot 4\cdot 6\cdots 100 = C^2D^2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdots 2\cdot 50$$

Grupo todos los dos juntos y ver que es igual a $$C^2D^22^{50}\cdot 50!