¿Puede uno recuperarse $G$ $G/H$?

Question

Yo estaba pensando acerca de una discusión que tuvo lugar en los comentarios de alguna pregunta en este sitio acerca de cociente y grupos isomorfos copias de estos.

Una de las personas mencionadas, que en $G/H$ tiene más información que en $K$($\simeq G/H$) porque en $G/H$ usted todavía tiene información acerca de $G,H$.

De hecho, usted puede recuperar los $H$, ya que la unidad del grupo $G/H$ y tomando la unión, uno ha $G=\bigcup G/H$ .

Para ponerlo en teoría, "$(G,H) \to G/H$" es inyectiva (puse quotemarks allí porque $G/H$ no es sólo una función de los conjuntos de $G,H$, pero también de la multiplicación por $G$).

Mi pregunta es la siguiente : ¿se puede recuperar el grupo $G$ conocer el grupo $G/H$ ? (Que es,además de recuperar la multiplicación, no sólo el conjunto subyacente)

Supongo que una manera precisa a la pregunta es : vamos a $C$ ser la categoría de parejas $(G,H)$ donde $G$ es un grupo (de aquí en adelante, esto significa $G = (E, \cdot)$ donde $\cdot$ satisface el grupo de axiomas) y $H$ es un subgrupo normal (aquí $H$ es sólo el conjunto subyacente) y del grupo de morfismos que preservar el normal subgrupo de ( $f : (G,H) \to (K,N)$ $f(H)\subset N$) y deje $F$ ser el functor $C\to \bf{Grp}$ que envía a $(G,H)$ $G/H$ $f : (G,H) \to (K,N)$a los canónicamente asociados $\overline{f} : G/H \to K/N$. Es $F$ inyectiva en los objetos ?

(Aunque la functorial análisis aquí no es necesario, parecía una buena manera de fraseo)

Esto dice precisamente esto : dado $G/H$ sé $G, H$, pero sé que la multiplicación ?

EDIT: Como se señaló en los comentarios, y en Hagen Von Eitzen la respuesta, el "caso trivial" $G/G$ muestra que la pregunta como está ahora es trivial. Pero más interesante (espero) pregunta sale de ella: para que normal subgrupos podemos recuperar $G$, o en un enfoque más global, por lo que las subcategorías $D$ $C$ es la restricción de $F$ $D$inyectiva en los objetos ?

Por ejemplo, el (completo) subcategoría de las parejas de $(G,\{e\})$ tiene esta propiedad (como el conocimiento de lo $\{a\}\{b\} = a\{e\} b\{e\}$ $G/{e}$ le dice lo $ab$ es).

Answer 1

Tenga en cuenta que la respuesta a la que sigue el resultado de mí interpretación errónea de la pregunta. Yo entendí "recover $G$" significa recuperar $G$ hasta un isomorfismo que conserva el grupo dado de la estructura en $G/H$. Pero la intención era recuperar el grupo de operación $G$ exactamente. Desde entonces, siempre que $|H|>1$ no hay manera de identificar el elemento de identidad de $G$, sólo es posible recuperar $G$ exactamente al $|H|=1$.

Para cualquier estructura de grupo en la $H$, es posible que $G = G/H \times H$. Así que sólo puede recuperar el $G$ $G/H$ si no hay una única estructura de grupo en la $H$, y si el producto directo es la única extensión.

No hay una única estructura de grupo en la $H$ si y sólo si $H$ es finito y ha pedido igual a $1$ o un primo. Si $|H|=1$ $G$ está determinado por $G/H$, por lo que asumir que $|G/H|=p$ es primo.

Para que la ampliación sea única, se requiere primero que no es trivial acción de $G/H$ $H$ o, equivalentemente, que el colector cociente $H_1(G/H)$ $G/H$ es finito y tiene el fin de coprime a $p-1$. Si eso se mantiene, entonces $H \le Z(G)$.

Por último, exigimos que no hay nonsplit central de extensión de $H$$G/H$, lo que equivale a $H_1(G/H)$ con el fin de coprime a $p$, y el Multiplicador de Schur $H_2(G/H)$ $G/H$ ser finito y tener el fin de coprime a $p$.

Resumiendo, las condiciones para $G$ a ser determinada únicamente por $G/H$ son que (i) $|H|=1$; o (ii) $|H|=p$ es finito y el primer, $H_1(G/H)$ es finito de orden coprime a $p(p-1)$, e $H_2(G/H)$ es finito de orden coprime a $p$.

Answer 2

Que $G$ ser un grupo de orden dos con conjunto subyacente $\{a,b\}$ (pero no les digo cuál de estos es el elemento neutro). Entonces $G/G$ es un grupo con conjunto subyacente $\{\{a,b\}\}$ y una operación trivial, $\{a,b\}*\{a,b\}=\{a,b\}$. Claramente, podemos recuperar el conjunto subyacente $\{a,b\}$ de esto. Pero todo lo que sabemos acerca de $G/G$ es simétrica con respecto a intercambio de $a\leftrightarrow b$. En consecuencia, con este conocimiento solo no podemos determinar que $a,b$ es el elemento neutro de $G$.