Voy a tratar de dar una explicación intuitiva:
Por lo que la probabilidad se define como una medida, es decir, un mapa que los mapas de subconjuntos de a $\Omega$ en valores en $[0,1]$ que satisface ciertas axioma de que el deseo.
Naturalmente, la gente iba a preguntar "¿podemos encontrar un buen mapa que correctamente se asigna un valor a cada subconjunto de $\Omega$ que sigue el axioma de que el deseo?"
La respuesta es sí para el finito $\Omega$, pero es complicado, y es generalmente un NO para infinite $\Omega$. (EDIT: para ser más precisos, la diferencia es entre finito o contable espacio de v. s. innumerables espacio).
Ya que no podemos asignar correctamente los valores para todos los subconjuntos de a $\Omega$ en muchos de los casos, empezamos a preguntar: "¿qué es la colección de subconjuntos que podría ser asignado correctamente los valores de a, por nuestra mapa/medida?". De preferencia, esperamos que esta colección sea tan grande como sea posible, de modo que pudiéramos medir adecuadamente tanto los subconjuntos como sea posible - por lo general terminan ampliación de la colección en una sigma-álgebra.
EDITAR - un ejemplo
Deje $\Omega$ ser el conjunto de todos los puntos en el círculo unitario, y la acción en $\Omega$ por un grupo de $G$ que consta de todos racional rotaciones (rotaciones por los ángulos que son racionales múltiplos de $\pi$). Por lo tanto $G$ es contable, mientras que $\Omega$ es incontable. Por lo tanto $\Omega$ se divide en una cantidad no numerable de órbitas en $G$, con cada órbita que corresponde al número racional $q$ consiste de los puntos que se $q\pi$ ángulo de lejos el uno del otro. Usando el axioma de elección, podemos elegir un punto único de cada órbita, la obtención de un incontable subconjunto $ A\subset \Omega$ con la propiedad de que todos sus traduce por $G$ son disjuntas de $A$ y el de los demás - a ver esto: si de lo contrario, a continuación,$\exists a \in (A+q_1\pi) \cap (A+q_2\pi)$. Pero puesto que no hay dos elementos en $A$ respecto al mismo órbitas, tenemos $\arg((a-q_1\pi),(a-q_2\pi)) \notin \mathbb Q\pi$, contradicción. (aquí puedo usar +/- para denotar la rotación de un punto para un cierto ángulo)
El conjunto de aquellos que se traduce particiones el círculo en una contables de la colección de conjuntos disjuntos, que son todos los pares congruentes (por racional rotaciones). Entonces el conjunto $A$ va a ser que no se pueden medir por cualquier rotación-invariante countably aditiva de probabilidad, medida en $\Omega$, debido a que: si $A$ tiene medida cero, contables aditividad implicaría que todo el círculo tiene medida cero. Si $A$ tiene medida positiva, contables aditividad demostraría que el círculo se ha medida infinita.
