Calcular

Question

Soy un estudiante de 8 grado y necesito ayuda para resolver este problema de matemáticas.

Problema:

Calcular %#% $ #%

Este es muy difícil para mí. Parece irresoluble. ¿Cómo calcular la serie sin utilizar Wolfram Alpha? Por favor me ayude. Grazie!

Answer 1

Sugerencia:

Dejar que S $$ = \frac {1} {5 ^ 1} + \frac {3} {5 ^ 3} + \frac {5} {5 ^ 5} + \frac {7} {5 ^ 7} + \frac {9} {5 ^ 9} + \cdots\tag1 $$ dividiendo $(1)$ $5^2$, obtenemos $$ \frac{S}{5^2}=\frac{1}{5^3}+\frac{3}{5^5}+\frac{5}{5^7}+\frac{7}{5^9}+\frac{9}{5^{11}}+\cdots\tag2 $$ reducir $(2)$ $(1)$, obtenemos $$ S-\frac {S} {5 ^ 2} = \frac {1} {5} + \color {azul} {\text {infinita progresión geométrica}} $$

Answer 2

De manera informal:

Si usted está tomando la suma de la fila sumas de

$ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{\phantom 1}} $

$ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 3}} \ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 3}}\ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 3}} $

$ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 5}} \ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 5}}\ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 5}}\ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 5}}\ \ \ \ \displaystyle{1\over 5^{ 5}} $

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots $

Tomar la suma de la columna de sumas de dinero en su lugar.

Hacia este fin, se nota, por ejemplo, que $$ {1\over 5^3}+{1\over 5^5}+{1\over 5^7}+\cdots\ =\ {1\over5}\Bigl( {1\over 25}+{1\over 25^2}+{1\over25^3}\cdots \Bigr) ={1\over 5}{1/25\over1-1/25}. $$

Answer 3

Esta suma se puede representar de la forma $$S=\sum_{k=0}^\infty (2k+1)x^{2k+1}$$$$ = > S = x\sum_ {k = 0} ^ \infty (2k+1)x^{2k}$$ where $x=\frac 15 $. Now we look at the following geometric progression $s (x) = \sum_ {k = 0} ^ \infty x^{2k+1}$ where $|x|\lt 1 $.hence $s (x) = \frac un {1-r} $ where a=x and $r = x ^ 2 $. Therefore $s (x) = \frac x {1-x ^ 2} $. Therefore $$\sum_{k=0}^\infty x^{2k+1}=\frac x{1-x^2}$$$$ = > \sum_{k=0}^\infty \frac d {dx} (x ^ {2 k + 1}) = \frac d {dx} \left (\frac x{1-x^2}\right)$$$$=>\sum_{k=0}^\infty (2k+1)x^{2k}=\left[\frac {1+x^2}{(1-x^2)^2}\right]$$$$= > \sum_{k=0}^\infty (2 k + 1) x ^ {2 k + 1} = x\left [\frac {1 + x ^ 2} {(1-x ^ 2) ^ 2} \right] $$ ahora en la pregunta $x=\frac 15$. Por lo tanto $$S=\left(\frac 15\right)\left[\frac {1+\left(\frac 15\right)^2}{(1-\left(\frac 15\right)^2)^2}\right]=\left(\frac 15\right)\left(\frac {5^2+1}{(5-\frac 15)^2}\right)=\left(\frac 15\right)\left(\frac {25*26}{576}\right)=\frac {65}{288}$ $