¿Cuáles son algunos usos notables e interesantes de la desigualdad de AM-GM? Citar y explicar problemas.

Question

Realmente hay muchos problemas en la desigualdad de AM-GM debido a su naturaleza elemental y aplicaciones potentes.

Lo que quiero es una colección de preguntas y problemas que parecen muy complejos pero haz solucionado rápidamente y poderosamente a través del uso de la desigualdad de AM-GM.

Edit: me ver 'interesante' es subjetivo por lo tanto, para hacer esta pregunta más específica por favor proporcione ejemplos que parecen interesantes o notable a usted y no piensen en lo que es interesante para mí.

Answer 1

Un lindo aplicación es el conocido lema:

Lema: Vamos a $\{x_n\}$ ser una secuencia de números reales positivos. Entonces $$\prod_{n=1}^{\infty} (1+x_n)$$ converges if and only if $$\sum_{n=1}^{\infty} x_n$$ converge.

La prueba: Una dirección es clara, como $\prod_{n=1}^{N} (1+x_n) > \sum_{n=1}^{N} x_n$. En el otro sentido, el uso de la AM-GM de la desigualdad. $$\sqrt[N]{\prod_{n=1}^{N} (1+x_n)}\le \frac{\sum_{n=1}^{N} (1+x_n)}{N} \implies \prod_{n=1}^{N} (1+x_n) \le \left(1 + \frac{x_1 + \cdots + x_N}{N} \right)^N$$ donde el lado derecho converge a $\exp{\sum_{n=1}^{\infty} x_n}$.

La forma habitual de la prueba de este lema es el uso de $1+x\le e^x$ para conseguir que el límite superior. Por alguna razón, me resulta fácil olvidar esta desigualdad, por lo que AM-GM es un buen reserva.