¿Resolver numéricamente odas-estimar la solución entre los nodos?

Question

Por lo que he oído acerca de un montón de lujo métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Sé que hay métodos que dan asintóticamente un bajo error como el método de Runge-Kutta. (Suponiendo que la suavidad suficiente.) Estos estimación de la solución en un conjunto de puntos $t_0$, $t_1$, etc. Pero lo que si quiero tener una función que está cerca de la solución correcta en todas partes, no sólo en un conjunto discreto de puntos?

Puedo extender la solución numérica de una función lineal a trozos. Esta será una función continua y va a converger a la solución correcta si el tamaño de paso tiende a cero.

Pero el error de estimación será pobre en la mayoría de los lugares, a menos que use un paso muy pequeño tamaño, que no en contra del propósito del uso de un alto método de orden. Pero, ¿cómo ir sobre la estimación de la solución en la práctica entre el $t_i$?

Answer 1

Recuerda que cualquiera que sea el método que use para la solución de $y^{\prime}=f(t,y)$, Runge-Kutta, Bulirsch-Stoer (extrapolables), Engranaje/de Adams de varios pasos, o más elegante métodos, uno siempre tiene un triple de valores $(t_i,y_i,y_i^{\prime})$ ($y_i^{\prime}=f(t_i,y_i)$) en cada punto de evaluación. Por lo tanto, siempre se puede hacer cúbicos de Hermite de interpolación a través de los puntos de $(t_i,y_i)$ $(t_{i+1},y_{i+1})$ (tenga en cuenta que no estoy asumiendo que la evaluación de los puntos que se equispaced, como es a menudo el caso cuando se hace de adaptación de problemas). Si el subyacente método es en la mayoría de los de la tercera orden precisa, cúbica de Hermite es una buena opción.

Ahora, el resultado es que las implementaciones modernas de solucionadores siempre a favor de los llamados "denso de salida"; brevemente, asociado con un método con $p$th el fin de "exactitud" (entre comillas ya que "de alto orden no siempre implica una alta precisión" ;) ) tiene asociado un $p$th orden de la interpolación de la función. Para usar mi ejemplo favorito, el $(4,5)$ adaptación de Runge-Kutta de solver basado en la Dormand-Prince coeficientes tiene asociado un quinto de la orden de la interpolación de la función. Las propiedades especiales inherentes en los coeficientes de permitir la existencia de un asociado de la interpolación de la función con el mismo orden de "exactitud"; en general, no todos los métodos de Runge-Kutta de los coeficientes se han asociado un "agradable" de la interpolación de la función (pero, de nuevo, uno siempre puede hacer cúbicos de Hermite).

Podría decir más, pero los libros de Hairer/Nørsett/Wanner tienen una amplia discusión en las densas de salida (y dicen que es mejor que lo que me puede esperar decir), así como utilizable rutinas (también disponible en el sitio). Usted haría bien para su estudio.

Answer 2

Usted puede utilizar su técnica de interpolación favorito. Como dices, tienes un montón de puntos (t, x). Tan usted puede darles de comer a una rutina spline, o un ajuste de polinomio o lo que sea. Si usted tiene algún conocimiento de la forma funcional, usted puede tomar estos puntos de datos para adaptarse a la forma, pero puede ser mejor usar su ecuación diferencial.

Answer 3

Tomemos, por ejemplo, los métodos de Runge-Kutta. Vamos $t_1$, $t_2$, etc., ser los puntos dados por el tamaño de paso del método. A continuación, el método de Runge-Kutta no sólo le dará la solución aproximada en los puntos $t_1$, $t_2$, etc., pero también en puntos intermedios entre, digamos, $t_1$$t_2$, según el orden del método. Usted puede usar estos puntos intermedios (entre el$t_1$$t_2$, junto con los extremos de $t_1$$t_2$) para la construcción de una interpolación del polinomio entre el$t_1$$t_2$, por lo que el resultado de la solución aproximada será de una función polinomial a trozos, más general que seccionalmente lineales, y la precisión será tan buena como la exactitud de los métodos de Runge-Kutta en los puntos de la malla.