Un problemático integral: $\int_0^{2\pi} e^{-2\pi i\lambda\cos(t)}\,dt$

Question

¿Hay un truco especial para calcular esta integral? $$\int_0^{2\pi} e^{-2\pi i\lambda\cos(t)}\,dt$$ for $\lambda>0$.

Answer 1

La función de Bessel de la orden del zeroth puede ser representada por la integral: %#% $ de #% desde la parte de $$J_0 (z) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^\pi e^{i z \cos(t)} dt$ el exponente es cero sobre la integral hasta $i\sin(z\cos x)$, sigue siendo sólo el $2\pi$. Este término sigue siendo idéntico a través de $\cos(z \cos x))$, por lo que: % $ $x\to x+\pi$en cuanto a la original integral, para una prueba que de hecho se trata de una solución de Bessel de Oda, ver aquí.