¿Cómo podría demostrar que $2^{500} + 15$ o $2^{500} + 16$ no es un cuadrado perfecto?
No tengo experiencia en la redacción de pruebas, así que ¿por dónde empiezo? Esto es un trabajo de práctica para mejorar mis habilidades, por si acaso en el examen. El profesor nos dio un montón de problemas de práctica para trabajar por nosotros mismos sin soluciones, así que esa es la parte difícil.
Soluciones cortas: $2^{1000} + 15 \equiv 3 \pmod{4}$ , $2^{1000} + 16 \equiv 2 \pmod{3}$ , ninguno de los cuales es un residuo cuadrático.
Una solución más elemental: $2^{1000} = (2^{500})^2$ . El siguiente cuadrado perfecto es $$(2^{500} + 1)^2 = 2^{1000} + 2(2^{500}) + 1$$ que es claramente más que ambos $2^{1000} + 15$ y $2^{1000} + 16$ . Por lo tanto, no es posible que estos dos sean cuadrados perfectos.
Perdona, pero ¿qué significa (mod 4)? Perdón por mi ignorancia. Soy un novato en matemáticas que intenta mejorar
Tal vez leer mi artículo aquí: artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=721&t=514795 Por ahora, ignora la primera solución si no la entiendes. Básicamente muestra que $2^{1000} + 15$ deja un remanente de $3$ cuando se divide por $4$ . Sin embargo, ningún cuadrado perfecto puede dejar un resto de $3$ cuando se divide por $4$ lo que significa que $2^{1000} + 15$ no es un cuadrado perfecto.
Gracias por el enlace y por toda su ayuda. Intentaré leer sobre ello y ver si puedo probarlo.
Para ampliar un poco la insinuación de Martin:
La diferencia entre dos cuadrados perfectos $n^2$ y $(n+1)^2$ es
$$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1.$$
Tienes dos números que se expresan como la suma de un cuadrado perfecto y otro número.
¿Cuál sería el valor más pequeño que tendría que tener el otro número para que la suma fuera también un cuadrado perfecto?
Me alegro de verte aquí, John. Estaba a punto de responder, pero has escrito exactamente lo que estaba pensando.
¡Hola @JoeTaxpayer! He enlazado tu estupenda respuesta sobre el billete de lotería en mi blog. ( Este .)
O bien el problema era el número real $2^{500}$ en cuyo caso era obvio utilizar este hecho (no debes ignorar los hechos que se dan como datos en tu problema), o el OP sólo dio una conjetura para un número y el problema era sobre un número "arbitrariamente grande" o "suficientemente grande", en cuyo caso esta solución sirve al menos para mostrar al OP cómo NO elegir datos de ejemplo. O por qué uno no tiene que elegir datos de ejemplo.
La cuestión no es que los números sean tan grandes...
La pregunta es sobre el resultado de que dos números consecutivos no pueden ser cuadrados simultáneamente..
Supongamos que $a=b^2\text { and }a+1=c^2\Rightarrow b^2+1=c^2\Rightarrow c^2-b^2=1\Rightarrow (c+b)(c-b)=1$
w.l.o.g. asumir $c+b=1$ lo que implica
$a+1=c^2=(1-b)^2=1+b^2-2b\Rightarrow a=b^2-2b$ pero entonces tenemos $a=b^2$
ahora deberías ser capaz de ver alguna contradicción...
Así que...
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Creo que estás haciendo dos preguntas que son irrelevantes entre sí.
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¿Qué quieres decir?
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Quiero decir que no me queda claro lo que preguntas. ¿Nos estás pidiendo que te ayudemos a resolver por qué o $2^{1000}+15$ o $2^{1000}+16$ no es un cuadrado perfecto o está buscando algunos consejos que le ayuden a resolver sus problemas? Si es lo primero, entonces no veo cómo está relacionado con el título que has elegido, si es lo segundo, no veo cómo esa pregunta de teoría numérica elemental en particular es relevante para las estrategias de prueba, porque uno simplemente no puede aprender a resolver problemas por un solo problema de un tipo particular.
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Lo siento, pero sí, ayuda a probarlo. Lo siento por el título.
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Pregunta editada para reflejar la naturaleza más específica de su pregunta
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Parece que alguien editó la pregunta cambiando los 1000s a 500s..
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Creo que parte del problema es que el enunciado de la pregunta es confuso por la negativa. Compárese con "¿cómo demuestro que o bien x + 15 o bien x + 16 no es par, para un entero x?". En ese caso uno de ellos es par y otro no y esa es la clave de la prueba. En su ejemplo ni número es un cuadrado perfecto, por lo que se pregunta cómo demostrar que cualquiera de ellos no es un cuadrado perfecto es ambigua; ¿necesitas una prueba de que uno de los dos no es un cuadrado perfecto, pero no te importa cuál, o de que los dos definitivamente no lo son?