Aplicar un funcional sobre una suma infinita

Question

El espacio $\ell^p$ tiene una base de Schauder y así podemos expresar de forma única cualquier elemento de $\ell^p$ como: $$x= \sum^\infty_{i=1}{\alpha_i}{e_i}$$ Donde $(e_i)$ es la base de Schauder para $\ell^p$ .

Mi pregunta es, si aplicamos un funcional en el espacio dual de $\ell^p$ a $x$ :

$$f(x)= f \left(\sum^\infty_{i=1}{\alpha_i}{e_i}\right)$$

A continuación, mi texto motiva el siguiente paso al decir "ya que $f$ es lineal y acotada", obtenemos:

$$f(x)= \sum^\infty_{i=1}{\alpha_i}{f(e_i)}$$

No estoy seguro de si la delimitación juega realmente un papel en este paso.

Una forma no rigurosa de pensar en el paso anterior sería:

$$f(x)= f \left({\alpha_1}{e_1}+{\alpha_2}{e_2}+{\alpha_3}{e_3}+...\right)\implies$$

$$f(x)= f ({\alpha_1}{e_1})+f({\alpha_2}{e_2})+f({\alpha_3}{e_3})+...\implies$$

$$f(x)= {\alpha_1}f ({e_1})+{\alpha_2}f({\alpha_2}{e_2})+{\alpha_3}f({e_3})+... = \sum^\infty_{i=1}{\alpha_i}{f(e_i)}$$

Todo ello a partir de la linealidad de $f\in \ell^{p'} $ . El uso de $...$ Me molesta.

¿Hay una forma mejor de pensar en la distribución de una función sobre una suma infinita? ¿La acotación juega un papel que desconozco?

Gracias de antemano.

Answer 1

El punto clave es reconocer que cuando se escribe $$x= \sum^\infty_{i=1}{\alpha_i}{e_i},$$ quieres decir $$ x=\lim_{n\to\infty} \sum^n_{i=1}{\alpha_i}{e_i} $$ (en otras palabras, una serie no es una suma, es un límite de sumas ). Esto también requiere que se reconozca qué topología se está utilizando para el límite, que en este caso es la topología de la norma.

Así que su igualdad es en realidad $$ f(x)= \lim_{n\to\infty}\sum^n_{i=1}{\alpha_i}{f(e_i)}. $$ La igualdad es efectivamente cierta porque, como $f$ está acotado, es continuo.