integral de línea

Question

Si $\mathbf{B}(\mathbf{x})=\rho^{-1}\mathbf{e}_{\phi}$ en cilíndricas polares, encuentra:

$$\int_{C}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}$$

$C$ Dónde está el círculo $z=0,\rho=1,\;0\leq \phi\leq 2\pi$. También encontrar $\nabla\times\mathbf{B}$

Mi intento:

$$\int_{C}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}=\int_C (\rho^{-1}\mathbf{e}_{\phi})\cdot (\mathbf{e}_{\rho}d\rho+\rho\mathbf{e}_{\phi}d\phi+\mathbf{e}_{z}dz)=\int_C \mathrm{d}\phi=2\pi$$

Esto parece demasiado fácil. ¿Está mal? Para la segunda parte me sale $\nabla\times\mathbf{B}=-\rho^{-3}\mathbf{e}_z$ pero un amigo mío dice que debe ser $0$...

Answer 1

Esta respuesta direcciones de la parte 2 que pide el curl de $\mathbf B$. Tu amigo es correcto que el curl es idéntica a cero.

Los componentes de la curvatura de un campo de vectores $\mathbf{B}(\mathbf{x})=\mathbf{e}_{\rho}B_{\rho}+\mathbf{e}_{\phi}B_{\phi}+\mathbf{e}_{z}B_{z}$ en coordenadas cilíndricas son:

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{e}_{\rho}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial B_z}{\partial\phi}-\frac{\partial B_{\phi}}{\partial z}\right) + \mathbf{e}_{\phi}\left(\frac{\partial B_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial \rho}\right) + \mathbf{e}_{z}\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho B_{\phi}\right)-\frac{\partial B_{\rho}}{\partial \phi}\right)$$

Para la función de $\mathbf{B}(\mathbf{x})=B_{\phi}(\rho)\mathbf{e}_{\phi}=\rho^{-1}\mathbf{e}_{\phi}$, $\rho$ $z$ componentes son cero: $B_{\rho}=B_z=0$. Y puesto que el $\phi$ componente $B_{\phi}=\rho^{-1}$ es independiente de $\phi$ y $z$, $\frac{\partial B_{\phi}}{\partial z}=0$. Por lo tanto, la fórmula para la curvatura se reduce a:

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{e}_{\rho}\left(-\frac{\partial B_{\phi}}{\partial z}\right) + \mathbf{e}_{z}\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho B_{\phi}\right)\right) \\ = \mathbf{e}_{z}\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho B_{\phi}\right)\right)\\ = \mathbf{e}_{z}\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \rho^{-1}\right)\right) = \mathbf{e}_{z}\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(1\right)\right) = \mathbf{e}_{z}\frac{1}{\rho}\left(0\right) = \mathbf0.$$