¿Una definición alternativa de finito?

Question

Hace la siguiente definición de una adecuada caracterización de la noción de finito? Es equivalente a decir, Dedekind-finitud?

Un conjunto $S$ es finito si y sólo si para todos los $x_0\in S$ y todos los $f:S\to S$ si $f$ es inyectiva, a continuación,$\exists x\in S: f(x)=x_0$.

De forma intuitiva, con esta definición, me refería a transmitir la idea de "contar sin números", es decir, que comienza en cualquier elemento $x_0\in S$, pasando de un elemento a otro, sin necesidad de "contar" a cualquier elemento más de una vez. Si $S$ es finito, yo creo que habría que "volver" a $x_0$.

$f(x)=y$ puede significar que vaya de $x\in S$ a un único $y\in S$.

La inyectividad de $f$ asegura que no va a ir a (o contar) cualquier elemento de $S$ más de una vez.

Seguimiento

Consulte "Infinity: La Historia hasta Ahora" en mi blog de matemáticas.

Allí me presente informal de un desarrollo de la noción de infinito, comenzando con el de arriba, no numéricos de aproximación para el conjunto finito (equivalente a Dedekind), junto con el acompañamiento de pruebas.

Answer 1

Es necesario definir qué significa "una caracterización adecuada de finito". Si por el adecuado media equivalente en la teoría de conjuntos $T$ a otro, presupone la definición de finito (por ejemplo, Dedekind-finitud), entonces sí.

Tomando $T$ $\sf ZF$ la definición que proponemos es equivalente a Dedekind-finitud. Para ver esto, observe que su definición es simplemente una reafirmación de la condición de "Cada función inyectiva de a $S$ $S$es surjective".

Sin embargo, hay una gran variedad de definiciones para el término "finito", que no son equivalentes entre sí en $\sf ZF$. Por ejemplo, su definición no es equivalente (en $\sf ZF$) a la siguiente definición, dada por Tarski:

$A$ es finito si y sólo si para cada no-vacía $U\subseteq\mathcal P(A)$ existe un $\subseteq$-elemento maximal en $U$.

El único acuerdo que usted es probable encontrar a través de y es que:

1. Delimitada conjuntos de números naturales son finitos.
2. El conjunto de los números naturales no es finito (en adelante infinito).
3. Los subconjuntos finitos conjuntos son finitos.
4. Superseries de conjuntos infinitos son infinitas.

Entre aquí y allí, hay muchas definiciones diferentes, algunos equivalente a otros y algunos no lo son. Pero todos son "adecuados" si por que te refieres a satisfacer a los cuatro propiedades.